UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - 1ª Prova, Questão 2
2) Calcule o limite abaixo, caso exista. Justifique.
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, queremos obter o limite da função para .
Como vamos fazer isso? 🤔
Quando calculamos o limite de uma função de duas variáveis, podemos fazer a aproximação de por pontos, por exemplo, nosso ponto de análise é , então vemos como se comporta em ou em ...
E também podemos usar aproximações por curvas que passam no ponto que estamos analisando, por exemplo, , ...
Assim, se alguma aproximação, encontrarmos uma divergência, significa que o limite não existe.
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Primeiro vamos fazer uma translação no sistema pois é mais fácil trabalhar com o limite de , então vamos fazer se transformar em , ou seja
Entendeu o que fizemos? Agora o limite ficou mais clean.
Passo 3
Fazendo aproximações por curvas que passam em , temos que para ...
Como caímos em uma indeterminação , vamos aplicar a regra de e derivar o numerador e o denominador...
Na derivada do numerador, temos
Já na derivada do denominador, temos que aplicar a regra da cadeia
Substituindo no limite, temos
Tranquilo até aqui? Vamos tentar por outra curva
Passo 4
Agora vamos nos aproximar por
Novamente aplicando a regra de ...
E por fim, por
Novamente aplicando a regra de ...
Como em três aproximações diferentes o resultado foi o mesmo, podemos dizer que o limite de para é . Mas lembrando que quanto mais curvas usarmos na aproximação, mais validade terá nosso resultado.
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
