UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 3.5d
Determine se os limites indicados existem.
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se o limite dado existe. Lembra que pra verificar o limite de uma função de uma variável, nós calculávamos o limite pela esquerda e pela direita? Assim, se os limites fossem iguais pelos dois caminhos, poderíamos dizer que o limite existe.
Em funções de duas variáveis, como a que nós temos, o conceito é o mesmo. Porque a gente vai precisar o limite por diferentes caminhos pra mostrar que ele existe ou não.
A questão é que um limite só existe se não depender do caminho. Ou seja, se o valor dele for o mesmo pra qualquer caminho. Então, a gente pode escolher curvas que passem pelo ponto ou a gente pode escolher um caminho genérico. Por exemplo, uma reta , onde é uma constante genérica. Nesse caso, vamos escolher e para verificar se os limites são iguais quando substituirmos esses valores na função.
Vamos lá!
Passo 2
Substituindo na função do limite, temos:
Simplificando, vamos obter:
Passo 3
Agora vamos testar na função:
Elevando às potências indicadas:
Somando os termos semelhantes:
Colocando em evidência no denominador:
Assim, quando tende a zero, temos:
Como os dois caminhos para chegar ao ponto nos fornecem valores diferentes, significa que esse limite não existe.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉