Mostre que o limite de f abaixo existe quando (x, y) → (0, 0)

f(x, y) = (x^3 + y^3) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 2, nosso objetivo é calcular o limite de

f ( x , y ) = x 3 + y 3 x 2 + y 2

quando ( x , y ) → ( 0,0 )

Como fazemos isso? Geralmente, podemos substituir os valores diretamente na função, mas só quando ela é contínua. Outra forma de fazermos é fazendo uma substituição de variáveis. Então vamos nessa

Passo 2

f ( x , y ) = x 3 + y 3 x 2 + y 2

Olhando o caminho

x = r c o s ( t )

y = r s i n ( t )

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) f ( x , y ) = l i m r → 0 r 3 ( c o s ( t ) 3 + s i n ( t ) 3 ) r 2

l i m r → 0 = r c o s ( t ) 3 s i n ( t ) 3

= 0

Logo

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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