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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine

lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2

Passo 1

Substituindo os valores de x e y :

lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2 = lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g 0 + 1 0 + 1 - 1 2

Uma função a r c t g t me fornece o valor cuja tagente seja igual a t . Repare que o termo dentro da arctangente tende pra + ∞ .

Deste modo, temos que buscar qual valor cuja tangente vai para o infinito.

Passo 2

Lembra que a função tangente é uma razão de seno e cosseno?

tg ⁡ t = se n ⁡ t cos ⁡ t  

Note, que quando o cosseno for zero, os valores de tangente vão tender ao infinito. E o cosseno n π 2 é igual a zero, onde n é qualquer número inteiro.

Vamos olhar o gráfico da função tangente para entender melhor seu comportamento:

Repara que ela vai para infinito para x = π 2 + 2 π k ,     k ∈ N .

Assim, temos

" a r c t g + ∞ = π 2 + 2 k π   ,     k ∈ N "

Botei as aspas porque não dá pra tratar o infinito como se fosse um número! Mas escrevendo a resposta bonitinha, temos que

lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2 = π 2 +   2 k π

Resposta

lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2 = π 2 +   2 k π   ,     k ∈ N  

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