Mostre que o limite de f abaixo não existe quando (x, y) → (0, 0)

f(x, y) = (x^4 + 3x^2 * y^2 + 2xy^3) / ( (x^2 + y^2)^2 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 2, nosso objetivo é mostrar que o limite de

f ( x , y ) = x 4   +   3 x 2 y 2   +   2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2

não existe quando ( x , y ) → ( 0,0 )

Como fazemos isso? Geralmente, basta encontrarmos dois caminhos distintos onde os limites são diferentes. Vamos tentar encontrar esses caminhos.

Passo 2

f ( x , y ) = x 4   +   3 x 2 y 2   +   2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2

Olhando o caminho

x = a t

y = b t

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) f ( x , y ) = l i m t → 0 ( a 4 + 3 a 2 b 2 + 2 a 2 b 3 ) t 4 ( a 2 + 2 a b + b 2 ) t 4

= ( a 4 + 3 a 2 b 2 + 2 a 2 b 3 ) ( a 2 + 2 a b + b 2 )

Logo, como encontramos dois caminhos distintos onde os limites são diferentes. Temos que o limite não existe.

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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