UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 3.5b
Determine se os limites indicados existem.
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se o limite dado existe. Lembra que pra verificar o limite de uma função de uma variável, nós calculávamos o limite pela esquerda e pela direita? Assim, se os limites fossem iguais pelos dois caminhos, poderíamos dizer que o limite existe.
Em funções de duas variáveis, como a que nós temos, o conceito é o mesmo. Porque a gente vai precisar o limite por diferentes caminhos pra mostrar que ele existe ou não.
A questão é que um limite só existe se não depender do caminho. Ou seja, se o valor dele for o mesmo pra qualquer caminho. Então, a gente pode escolher curvas que passem pelo ponto ou a gente pode escolher um caminho genérico. Por exemplo, uma reta , onde é uma constante genérica. Esse último, é o método que nós vamos adotar.
Vamos lá!
Passo 2
Galera, como o nosso limite tende para o ponto , vamos escolher uma reta genérica que passe por esse ponto. No caso, . Substituindo isso na função do limite, temos:
Elevando às potências indicadas:
Somando os expoentes no produto:
Colocando em evidência no denominador:
Simplificando:
Como o limite ainda depende de , podemos dizer que o limite existe, mas vamos calculá-lo pra ter certeza.
Passo 3
Pra sair da indeterminação de , vamos usar as coordenadas polares:
Assim, quando , temos . Substituindo isso na função do limite:
Elevando ao quadrado:
Somando os expoentes nas potências de mesma base:
Colocando em evidência e usando a identidade trigonométrica , temos:
Simplificando:
Assim, quando tende a zero, temos:
Portanto, nosso limite existe e é igual a zero.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉