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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 3.1f

Estabeleça o limite, encontrando δ   >   0 para qualquer     ϵ >   0 de maneira que a definição seja

válida.

l i m ( x , y ) → ( 3 , - 1 ) x 2 + y 2 - 4 x + 2 y = - 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 2, nosso objetivo é mostrar que

l i m ( x , y ) → ( 3 , - 1 ) x 2 + y 2 - 4 x + 2 y = - 4

Usando a definição por ϵ e δ

Lembram da definição? Ela diz que

L i m ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = L   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   ∀   ϵ   > 0   ∃   δ   t a l   q u e   δ >   | | ( x , y ) - ( x 0 , y 0 ) | | ⇒ | f ( x , y ) - L | < ϵ  

Bem confuso, né? Mas vamos ver que a forma de fazermos essa questão é encontrarmos um ϵ e depois darmos o valor de δ

Passo 2

Queremos calcular

l i m ( x , y ) → ( 3 , - 1 ) x 2 + y 2 - 4 x + 2 y = - 4

Nesse caso, temos que x 0 = 3 ,   y 0 = - 1 ,   L = - 4

Bem, note que a restrição

  δ >   | | ( x , y ) - ( x 0 , y 0 ) | |

Implica que x ,   y estão contidos na bola centrada em ( x 0 , y 0 ) e de raio até δ .

Logo, temos que

x 0 - δ < x < x 0 + δ

y 0 - δ < y < y 0 + δ

Ou seja,

| x 0 - x | < δ

| y 0 - x | < δ

além disso, podemos obter que

| x | < | x 0 | + δ

| x | < | y 0 | + δ

para δ   ≤   1 (nossa hipótese durante essa resolução)

| x | < | x 0 | + 1

| y | < | y 0 | + 1

Com isso em mente, podemos obter uma desigualdade para | f ( x , y ) - L | .

Passo 3

Temos que:

| f ( x , y ) - L | = | x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 |

Vamos somar e subtrair 9 ,   1 ,   12 ,   2

= | ( x 2 - 9 ) + 9   +   ( y 2 - 1 ) + 1 - 4 ( x - 3 ) - 12 + 2 ( y + 1 ) - 2 + 4 |

= | ( x 2 - 9 )   +   ( y 2 - 1 ) - 4 ( x - 3 ) + 2 ( y + 1 ) |

Pela desigualdade triangular

≤ | x + 3 | | x - 3 |   + | y + 1 | | y - 1 | + 4 | ( x - 3 ) | + 2 | ( y + 1 ) |

Usando as desigualdades que obtemos no passo 2 Como x 0 = 3 ,   y 0 = - 1 ,

< | x + 3 | δ + δ | y - 1 | + 4 δ + 2 δ

≤ 4 δ   + 2 δ + 6 δ = 12 δ

Então se escolhermos

δ = m i n ( 1 , ϵ / 12 )

Logo, para todo ϵ > 0 existe um δ = m i n ( 1 , ϵ / 12 ) , tal que se

δ >   | | ( x , y ) - ( 3 , - 1 ) | | ⇒ | f ( x , y ) + 4 | < ϵ

Dessa forma, mostramos que

l i m ( x , y ) → ( 3 , - 1 ) x 2 + y 2 - 4 x + 2 y = - 4

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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