UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 3.1d
Estabeleça o limite, encontrando para qualquer de maneira que a definição seja
válida.
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 2, nosso objetivo é mostrar que
Usando a definição por e
Lembram da definição? Ela diz que
Bem confuso, né? Mas vamos ver que a forma de fazermos essa questão é encontrarmos um e depois darmos o valor de
Passo 2
Queremos calcular
Nesse caso, temos que
Bem, note que a restrição
Implica que estão contidos na bola centrada em e de raio até .
Logo, temos que
Ou seja,
além disso, podemos obter que
para
Com isso em mente, podemos obter uma desigualdade para .
Passo 3
Temos que:
Vamos somar e subtrair
Pela desigualdade triangular
Usando as desigualdades que obtemos no passo Como
Então se escolhermos
Logo, para todo existe um , tal que se
Dessa forma, mostramos que
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
Desenvolvimento acima