Considere a região plana R definida por

R = { x, y ∈ R | x ≤ 4, -ln(x - 1) ≤ y ≤ 0 }

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo y .

Letra a) Esboce abaixo a região plana R .

Passo 1

Letra (a) Então, para esboçar essa região, vamos começar entendendo melhor as três curvas que delimitam a região: x = 4 , y = 0 e y = - ln ⁡ ( x - 1 ) .

Bem x = 4 é uma reta paralela ao eixo y e que passa por x = 4 ; quanto y = 0 , paralela ao eixo x passando por 0 em y .

Pois então, basta a gente agora encontrar a cara dessa outra curva aí, essa ln ⁡   , e basicamente esse nosso problema termina, pois a região vai estar dentro dessas 3 coisas. ;)

Passo 2

Mas qual é a cara dessa função y = - ln ⁡ ( x - 1 ) ?

Pow, realmente a gente não tem a resposta dessa pergunta de primeira, porém a gente conhece a cara de uma muito parecida, y = ln ⁡ x :

Mas subtrair um do argumento x é pegar o gráfico e deslocar uma unidade pra direita em x , dessa forma a gente consegue o gráfico de y = ln ⁡ ( x - 1 ) :

Quando multiplicamos por - 1 a função, a única coisa que muda é que invertemos o gráfico dessa forma aqui:

Passo 3

Agora jogando todas as três curvas de que falamos em um único gráfico, chegamos à região que precisávamos encontrar!

Resposta

Letra a)

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