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Exercícios Resolvidos de Modificações gráficas

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Enunciado

UFSC – Pré-Cálculo – Exame de Proficiência 2017.1

9. Seja f : R → R uma função que satisfaz

2 f x + f 1 - x = x 2

A lei de formação de f é dada por

  1. f x = x 2 - 3 x + 1 2 ;
  2. f x = x 2 + 8 x - 3 9 ;
  3. f x = 4 x 2 + 3 x - 2 6 ;
  4. f x = x 2 + 2 x - 1 3 ;
  5. f x = x 2 + 9 x - 4 9 .

Passo 2

Fala aí pessoal! Nesse problema ele nos pede uma função f x que satisfaça essa relação aqui:

2 f x + f 1 - x = x 2

E aí? Pela cara da relação que o problema nos deu já dá para saber que a função f ( x ) tem que ser uma função do segundo grau:

f x = a x 2 + b x + c

Nossa tarefa é usar aquela relação ali de cima para essa função genérica e descobrir quem é o a , o b e o c . Parece que vai dar mó trabalhão mas não vai... a gente vai logo se ligar num detalhe. A gente podia testar cada uma das alternativas também!Vamos lá!

Passo 3

Primeiro a gente começa substituindo a nossa função genérica na relação

2 f x + f 1 - x = x 2 2   a x 2 + 2 b x + 2 c +   a 1 - x 2 + b 1 - x + c = x 2

Agora a gente abre aquele termo 1 - x 2 = 1 - 2 x + x 2 e ficamos com esse monstrinho aqui:

2   a x 2 + 2 b x + 2 c +   a x 2 - 2 a x + a +   b 1 - x + c = x 2 3 a x 2 + 2 b x + 3 c - 2 a x + a +   b 1 - x = x 2

E agora hein?

Passo 4

Agora a gente lembra que numa igualdade de polinômios, os fatores que multiplicam as mesmas potências de x são iguais... Então a gente ignora tudo que não seja x 2 que é o único termo que tem dos dois lados da equação. Temos então: 3 a x 2 + … = x 2 ou seja

3 a = 1 → a = 1 3

Uma vez que eu tenho o a eu olho nas alternativas alguma função que tenha essa cara aqui:

f x = x 2 3 +   ? ? x +   ? ? E aí vemos que a única alternativa é

f x = x 2 + 2 x - 1 3

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra d.

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