UFES – Cálculo 1 – Listas de Estudos UFES – Lista 2
Nos exercícios 18 a 21 determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função dada.
21.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo certinho??O problema está nos dando essa função daqui
E nos pede para determinar o domínio, que é o conjunto dos possíveis valores de que podem entrar nessa função; a imagem, que são os possíveis valores que a nossa função pode assumir; e ele quer também um esboço do gráfico.A nossa estratégia vai ser a seguinte: Vamos determinar o domínio olhando as restrições que a nossa função pode ter... Por exemplo, não podemos dividir por zero, tirar raiz de números negativos e etc. A imagem a gente determina conhecendo um pouco da função. Por exemplo, o seno só nos dá valores entre e , certo?O esboço a gente faz olhando uma função que a gente já conhece o gráfico e ir fazendo transformações em cima desse gráfico para a gente obter a cara da nossa função.
Como na nossa função temos uma função secante aparecendo, vamos lembrar que o gráfico dessa função é esse cara aqui:
Então vamos lá resolver esse problema 😊
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da nossa função
Aqui é legal a gente escrever a secante como sendo o inverso do cosseno:
OPA!! Agora que a gente tem o cosseno no denominador, sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero:
Lembrando que o cosseno é nulo para qualquer múltiplo inteiro de temos que:
Onde é
Dessa forma o domínio da função é:
Passo 3
Para ver a imagem temos que lembrar que a função cosseno pode nos dar um valor máximo de e o mínimo de . Só que na nossa expressão, o cosseno está no denominador
O que acontece é que a função cosseno te dá um valor mínimo e depois, quando o cosseno vai para valores próximos de , a função secante explode. Dá para ver isso no gráfico da secante:
Dessa forma, nós temos dois intervalos. O primeiro é para as curvas com concavidade voltada para cima (Aqueles que aparecem ali). Nesse trecho temos:
No outro trecho (Naqueles trechos que tem uma forma em ), temos:
Como a nossa função é a secante dividida por temos a metade desses intervalos. Juntando os dois, temos que o conjunto imagem é dado por:
Passo 4
Agora, para o esboço a gente pode fazer uso do gráfico de :
A primeira diferença entre esse gráfico e o que a gente quer esboçar é no argumento. A função secante que temos é:
Em relação à função temos uma transformação do tipo:
Isso, no esboço, é a mesma coisa que andar com o gráfico da secante horizontalmente para a direita unidades. Então temos:
Passo 5
A última coisa que nos resta é dividir essa função por . No esboço, isso só altera os valores de . Todos eles vão ser divididos por . Então temos:
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??
Resposta
