Nos exercícios 18 a 21 determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função dada.

18. f(x) = 3 * sen(2 * pi * x)

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho??O problema está nos dando essa função daqui

f x = 3 sen ⁡ 2 π x

E está nos pedindo para determinar o domínio, que é o conjunto dos possíveis valores de x que podem entrar nessa função; a imagem, que são os possíveis valores que a nossa função pode assumir; e ele quer também um esboço do gráfico.A nossa estratégia vai ser a seguinte: Vamos determinar o domínio olhando as restrições que a nossa função pode ter... Por exemplo, não podemos dividir por zero, tirar raiz de números negativos e etc. A imagem a gente determina conhecendo um pouco da função. Por exemplo, o seno só nos dá valores entre - 1   e 1 , certo?O esboço a gente faz olhando uma função que a gente já conhece o gráfico e ir fazendo transformações em cima desse gráfico para a gente obter a cara da nossa função.

Como na nossa função temos um seno aparecendo, vamos lembrar que o gráfico dessa função é esse cara aqui:

Então vamos lá resolver esse problema 😊

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da nossa função

f x = 3 sen ⁡ ( 2 π x )

Pela cara dela, a gente vê que não temos nenhuma restrição para os valores de x . Qualquer valor de x real que a gente colocar ali a função vai nos dar algum resultado. Então o domínio é o conjunto de todos os números reais: D o m   f = { x   ∈ R }

Para ver a imagem temos que lembrar que a função seno só nos dá valores entre esse intervalo aqui: - 1 ≤ s e n   x ≤ 1

AAAH mas a gente não tem s e n   x temos s e n   ( 2 π x ) . Isso não importa muito né? Pois vamos continuar tendo esses valores entre - 1 e 1 . O que vai mudar é que temos um 3 multiplicando todo mundo ali. Então multiplicando essa expressão aqui de cima por 3 temos: - 3 ≤ 3 s e n   ( 2 π x ) ≤ 3

Ou seja, a nossa imagem é o conjunto: I m   f = y   ∈ R - 3 ≤ y ≤ 3 }  

Beleza!!

Passo 3

Agora, para o esboço temos que ter um cuidado. Pela cara da função seno e pela imagem que a gente obteve no passo anterior, a gente imagina que o gráfico vai se manter o mesmo só que indo de - 3 até 3 ...

Mas toma cuidado! É agora que aquele ( 2 π x ) vai fazer uma diferença. Olha só o gráfico do s e n x de novo:

O papel daquele ( 2 π x ) é aumentar o número de repetições dessas curvas. Então o gráfico fica com essa cara aqui:

Lembrando que temos que multiplicar esse resultado por 3 temos o seguinte gráfico:

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

D o m   f = { x   ∈ R }

I m   f = y   ∈ R - 3 ≤ y ≤ 3 }

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