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Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo Bidimensional

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Enunciado

Movimento Relativo e Referencial

Duas escadas rolantes estão dispostas como mostra a figura. O ângulo de elevação θ de cada escada, em relação a horizontal é o mesmo. As escadas movimentam os degraus com velocidades constantes de mesmo módulo v , medidas em relação a um referencial fixo na Terra. Em um dado instante, duas pessoas A e B entram simultaneamente nas escadas, como mostra a figura, e ao entrarem permanecem paradas em relação aos respectivos degraus. Seja um referencial fixo em B e em translação relativa ao referencial da Terra. O módulo da velocidade de A em relação B enquanto A e B estão nas escadas é

(a) v → A / B = 0

(b) v → A / B = v sen ⁡ θ

(c) v → A / B não é constante

(d) v → A / B = 2 v cos ⁡ θ

(e) v → A / B = v cos ⁡ θ

Passo 1

Sendo v → A e v → B as velocidades de A e B em relação ao referencial da Terra, temos

v → A / B = v → A - v → B

Sabemos que os vetores v → A e v → B têm módulo v e fazem uma inclinação θ com a horizontal. Uma boa vai ser decompor esses vetores!

Passo 2

Vamos usar o eixo x apontando pra direita, com vetor unitário î , e o eixo y apontando pra cima, com vetor unitário j ^ :

Passo 3

Usando uma trigonometria básica, obtemos as seguintes decomposições das velocidades:

Ou seja,

v → B = v cos ⁡ θ î - v sen ⁡ θ j ^

v → A = - v cos ⁡ θ î - v sen ⁡ θ j ^

Passo 4

Voltando pra fórmula do começo:

v → A / B = v → A - v → B

⇒ v → A / B = - v cos ⁡ θ î - v sen ⁡ θ j ^ - v cos ⁡ θ î - v sen ⁡ θ j ^

⇒ v → A / B = - v cos ⁡ θ î - v sen ⁡ θ j ^ - v cos ⁡ θ î + v sen ⁡ θ j ^

Os senos vão cortar, aí sobra

v → A / B = - 2 v cos ⁡ θ î

Passo 5

Show, então o módulo dessa velocidade é:

v → A / B = - 2 v cos ⁡ θ   î = 2 v cos ⁡ θ

Resposta

Alternativa (d)

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