Determine as dimensões do retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados que tenha área máxima, sabendo que o retângulo está inscrito na região limitada pelas parábolas e
Passo 1
Entender o problema
Se você sentiu cheiro de questão de otimização quando leu esse enunciado, sentiu certo! A questão pode até parecer confusa, mas se a gente der uma esboçada nos gráficos das cruvas, fica tranquilo de entendermos. Da uma olhada:
O que a questão pede é para maximizarmos a área desse retângulo BEDC e acharmos as dimensões do retângulo pra essa área! Pra fazer isso, precisamos primeiro de um jeito de escrever:
Show de bola, sabendo como a área varia com , achar a maior área vai ser mel na chupeta: basta derivar e igualar a ! Pra que sinais de negativo não nos enrolem, vamos resolver o problema dessa forma aqui:
Essa área vai ser então metade da área do retângulo original. Chamando essa área de , vamos ter que:
E como é a área de um retângulo, o pulo do gato pra resolver essa questão vai ser encontrar como a altura varia com , isto é, e como a base varia com , isto é, . Isso porque a área de um retângulo é o produto da altura pela base. Sendo assim:
Passo 2
Encontrar a expressão de e
Pra sabermos a expressão de temos que encontrar esses dois primeiro, não é mesmo? Então vamos lá! Começando pra base:
Opa, se quando a base tem tamanho e quando a base tem tamanho então a base vai ter a expressão:
Agora, sobre a altura:
Quando , a altura é igual a . E da uma olhada no gráfico: o que é isso se não ? Portanto, a altura do retângulo vai ser:
Passo 3
Encontrar a expressão de
Agora temos tudo pra saber como a área do retângulo varia com . Partiu então:
Logo:
Passo 4
Otimizando o valor da área
Opa, agora pra achar o valor de que maximiza a área, basta achar o que satisfaz . Vamo que vamo:
Mas como dividimos o problema pela metade pra não precisarmos nos preocupar com valor negativos, vamos usar
Pra esse valor então a altura vai ser:
E a base do retângulo original vai ser:
A área pra esse então vai ficar:
Agora pra fechar com chave de ouro, vamos ver uma comprovação gráfica.
