UFPE – Cálculo 1 – 2020.2 – Segundo Exame – Exercício 1
Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.
Passo 1
Fala galerinha, beleza? Bora brincar um pouco com problema de otimização!
Essa é uma questão bem tradicional sobre máximos e mínimo de funções de uma variável. Vamos considerar uma lata cilíndrica de raio e altura . A área total da superfície desse cilindro é
Consideremos duas vezes a área da base pois temos que considerar tanto a base quanto a tampa. Assim,
Nós queremos achar as dimensões que minimizam o custo, isto é, que tenham a menor área possível, reduzindo a quantidade de material usada. O problema é que a área é uma função de duas variáveis: e . Como resolver esse impasse?
A resposta está no volume, que é fixo . Sabemos que
Usando as dimensões em , podemos escrever
Substituindo na relação da área:
Vou chamar essa função de :
Nosso objetivo é minimizar essa função!
Passo 2
Antes de minimizar a função, vale ressaltar que por motivos geométricos.
Derivando a função e igualando a zero nós achamos os pontos críticos:
Portanto, o único ponto crítico ocorre em
Precisamos conferir se esse ponto corresponde a um ponto de mínimo da função. Uma forma de fazer isso é tomar a segunda derivada e verificar se nesse ponto. Mas eu vou fazer isso de um jeito mais interessante e que não envolve conta!
Pela natureza do problema, é muito razoável supor que o problema tem solução, isto é, existe um valor de que minimiza . Desta forma, sabemos que existe um mínimo de . Como a função é bem comportada (contínua e derivável) para e apresenta um único ponto crítico, esse ponto crítico precisava corresponder ao mínimo (que garantimos existir)! Viu como é bem mais fácil que fazer conta?
PS: eu só pude fazer esse argumento pois havia um único ponto crítico da função. Caso contrário, você precisa brincar mais com as contas...
Passo 3
Agora que temos , fica fácil achar :
Ou ainda,
Logo, as dimensões do cilindro que minimizam o custo são