UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P3 – M.Escolha
O volume máximo do cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera de raio é igual a
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa juntos!
Temos um problema de otimização em mãos, temos que encontrar o volume máximo do cilindro que cabe dentro da esfera com raio que o enunciado nos deu temos que relacionar o volume do cilindro com o raio da esfera de alguma forma.
Para um cilindro circunscrito em uma esfera de raio , temos a seguinte relação:
Onde é o raio da esfera, a altura do cilindro e o raio do cilindro.
O volume do cilindro é dada por:
Podemos isolar na primeira equação substituir na equação do volume do cilindro e teremos em função de , aí basta derivarmos em fnção de e encontrar o valor de que faz esse volume ser máximo e depois substituirmos na equação do volume.
Passo 2
Temos o seguinte então:
Substituindo isso em , temos:
Passo 3
Agora vamos derivar essa expressão do volume em função de , assim:
Igualando a zero, temos:
Então o volume máximo é dado por:
Então temos que:
Assim temos que:
Passo 4
Agora vamos substituir o valor de no que encontramos, temos:
Então temos que:
Então nossa alternativa correta é a letra .