UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P3 – M.Escolha
Um trapézio é inscrito num circulo de raio , de modo que a base do trapézio é o diâmetro do círculo. Sabendo que o trapézio de área máxima tem área , podemos concluir que a área do disco de raio é
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Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa juntos!
Temos um problema de otimização em mãos, para encontramos a área do disco onde cabe o trapézio com a área que o enunciado nos deu temos que relacionar a equação do circulo com a área do trapézio.
E com isso achar uma função da área em função de uma variável, aí a gente deriva essa função e iguala a zero para ver o valor que faz a área do trapézio ser máxima.
Com isso a gente encontra o valor do raio do círculo já que a base do trapézio vale .
A equação do círculo considerando que ela esteva centrada na origem, é dada por:
A área do trapézio vai ser dada por:
A base menor vale porque vamos considerar o eixo passando pelo meio do trapézio.
Passo 2
Vamos isolar na equação do círculo, temos:
Assim temos:
Substituindo isso na expressão da área do trapézio, temos:
Passo 3
Agora vamos derivar essa expressão da área em função de , assim:
Então temos que:
Agora igualando isso a zero, temos:
Vamos resolver essa equação de segundo grau, temos:
Temos que:
Ou
Mas o que nos interessa é o resultado positivo já que estamos mexendo com tamanhos.
Passo 4
Então encontramos o valor de que faz a área do trapézio ser igual a que é a área máxima, então vamos substituir na equação da área que encontramos e encontrar o valor de , temos:
Isolando , temos:
Usando o fato de que a área do círculo é dada por:
Temos que:
Então nossa alternativa correta é a letra .