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Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Q02) Um comerciante deseja produzir uma ampulheta para venda em sua loja. A ampulheta será composta de dois cones idênticos, unidos pelo vértice. O comerciante planeja construir a ampulheta de vidro e em seguida fechar as bases com uma tampa de metal. Ele também planeja que a área superficial da ampulheta, excetuando-se as tampas de metal,seja de A   c m 2 . Qual deve ser o raio da tampa para que a ampulheta possa marcar o maior intervalo de tempo possível?

Dica: A área lateral de um cone de raio r e altura h é dada por π r r 2 + h 2 .

Passo 1

Vamos pro cerne do problema: o desejo do comerciante de marcar o maior intervalo de tempo possível. Como que se faz isso? Bem, se a ampulheta for grandona, ai sim ela tem muita areia e quanto mais areia, mais tempo demora pra ela cair. Então o que queremos é maximizar o volume! Agora veja, volume de um cone de raio r e altura h é:

V = π r 2 h 3   I

E a área superficial da ampulheta é A . Mas já que a ampulheta é composta de dois cones e sabemos da dica do problema a área superficial de um único cone, temos que:

A 2 = π r r 2 + h 2   I I

Ok, percebeu que tamos trabalhando somente com um cone agora o tempo todo? Nem precisamos nos preocupar em maximizar o volume de dois, o volume de um já da conta do recado. Como a questão pedeo raio que maximiza o volume, pra escrever V r , preciso escrever h r a partir da equação I I . Saca só:

A 2 = π r r 2 + h 2

A 2 4 = π 2 r 2   r 2 + h 2

A 2 4 = π 2 r 4 + π 2 r 2 h 2

A 2 4 - π 2 r 4 = π 2 r 2 h 2

A 2 4 - π 2 r 4 π 2 r 2 = h 2

h r = A 2 4 - π 2 r 4 π r   I I I

Agora sim posso escrever a função a ser otimizada em! Jogando a equação I I I dentro da I , temos:

V = π r 2 h 3 = π r 2 3 A 2 4 - π 2 r 4 π r

V r = r 3 A 2 4 - π 2 r 4

Passo 2

Show de bola, como agora da pra otimizar já que o volume ta escrito em funçã ode uma variável só e a de interesse, basta a gente derivar e igualar a zero pra achar os pontos críticos:

V r = r 3 A 2 4 - π 2 r 4

Usando a regra da cadeia pra derivar, temos:

V ' r = r 3 ' A 2 4 - π 2 r 4 + r 3 A 2 4 - π 2 r 4 '

V ' r = 1 3 A 2 4 - π 2 r 4 + r 3 1 2 A 2 4 - π 2 r 4 A 2 4 - π 2 r 4 '

V ' r = A 2 4 - π 2 r 4 3 + r 6 A 2 4 - π 2 r 4 - 4 π 2 r 3

V ' r = A 2 4 - π 2 r 4 3 - 4 π 2 r 4 6 A 2 4 - π 2 r 4

Colocando tudo no mesmo denominador:

V ' r = 2 A 2 4 - π 2 r 4 6 A 2 4 - π 2 r 4 - 4 π 2 r 4 6 A 2 4 - π 2 r 4

V ' r = A 2 2 - 2 π 2 r 4 - 4 π 2 r 4 6 A 2 4 - π 2 r 4

V ' r = A 2 2 - 6 π 2 r 4 6 A 2 4 - π 2 r 4

Igualando a 0 , temos:

V ' r = A 2 2 - 6 π 2 r 4 6 A 2 4 - π 2 r 4 = 0

A 2 2 - 6 π 2 r 4 = 0

6 π 2 r 4 = A 2 2

r 4 = A 2 12 π 2

r = A 12 4   π   c m

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro, vamos testar as fronteiras pra ver se o raio encontrado é de máximo global mesmo. Veja a função do volume:

V r = r 3 A 2 4 - π 2 r 4

As fronteiras são os casos onde o raio é mínimo ( r = 0 ) e o raio é máximo ( r que zere a raíz, r = A 2 π . Afinal, V não está nem definido para valores maiores de r se não a raiz fica com valor negativo). Será que eles maximizam o volume? Bem, veja que:

V 0 = 0

V A 2 π = 0

Então não, realmente o raio que maximiza o volume é:

r = A 12 4   π   c m

Resposta

r = A 12 4   π   c m

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