Determine o retângulo de área máxima e lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse 4 x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Vamos tentar esboçar o problema. Queremos um retângulo inscrito na elipse, que estará mais na forma:

Veja que os lados do retângulo valem 2 x e 2 y . O dois aparece, pois cada quarto do retângulo está em um quadrante.

Assim sendo, a área será:

A = 2 x ⋅ 2 y = 4 x y

Passo 2

Precisamos tentar deixar isso em função de uma única variável, para tal, recorremos a elipse:

4 x 2 + y 2 = 1

Isolando y :

y 2 = 1 - 4 x 2 ⟹ y = ± 1 - 4 x 2

Como trata-se de uma medida, pegamos somente a parte positiva e substituímos:

A = 4 x ⋅ 1 - 4 x 2

Passo 3

Para achar o ponto de máximo, precisamos achar os pontos críticos que, por sua vez, são encontrados derivando e achando os zeros e os pontos de inexistência. Pela regra do produto e cadeia:

A ' = 4 1 - 4 x 2 + 4 x ⋅ 1 2 1 - 4 x 2 ⋅ - 8 x = 4 1 - 4 x 2 - 16 x 2 1 - 4 x 2 = 4 1 - 4 x 2 - 16 x 2 1 - 4 x 2

= 4 - 16 x 2 - 16 x 2 1 - 4 x 2 = 4 - 3 2 x 2 1 - 4 x 2

A derivada passa a não existir para quando o denominador é zero, ou seja:

1 - 4 x 2 = 0 ⟹ x 2 = 1 4 ⟹ x = ± 1 2

Temos valores negativos e positivos, mas novamente consideramos somente os positivos, pois é uma medida. Nesse ponto:

A = 4 ⋅ 1 2 ⋅ 1 - 4 ⋅ 1 4 = 2 0 = 0

A área é zero, então esse ponto não nos interessa. Vamos ver quando a derivada é zero:

4 - 32 x 2 = 0 ⟹ 32 x 2 = 4 ⟹ x 2 = 1 8 ⟹ x = ± 1 2 2

Novamente, consideramos somente a parte positiva.

Passo 4

Precisamos agora testar se esse ponto é um ponto de máximo. Para isso, aplicamos o teste da primeira derivada, escolhendo um ponto à esquerda e à direita. Temos que tomar cuidado para não passar de outro ponto crítico nessa hora para não obter alguma informação errada. Vamos escolher então:

x = 1 2 3 x = 2 5

Substituindo esses pontos na derivada:

A ' 1 2 3 = 2 2 3 > 0

A ' 2 5 = - 28 15 < 0

Como a derivada é positiva à esquerda e negativa à direita, é, de fato, um ponto de máximo.

Passo 5

Substituindo o ponto de máximo:

A 1 2 2 = 4 ⋅ 1 2 2 ⋅ 1 - 4 1 2 2   2 = 1 u . a .

O valor de cada lado será:

l 1 = 2 x = 1 2 u . m .

E: l 2 = 2 y = 2 ⋅ 1 - 4 1 2 2 2 = 2 ⋅ 1 - 1 2 = 2 2 = 2   u . m .

Ufa!

Resposta

A = 1 u . a

l 1 = 1 2 u . m .

l 2 = 2   u . m .

Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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