( a ) Sejam a , b > 0 . Determine, caso exista, o perímetro mínimo dos triângulos de base b e altura (relativa à base dada) a .

Passo 1

Ora, Vamos desenhar o que seria um esboço da questão:

Nesse desenho tentei englobar todas as possibilidades dos triângulos trabalhados. Para o triângulo azul, que tem um ângulo obtuso na direita, se chamássemos a distância da seta azul de uma variável x nosso perímetro seria:

2 p = b + x 2 + a 2 + x - b 2 + a 2

Se pegássemos o vermelho, com os três ângulos agudos e x sendo a distância representada pela seta vermelha, o perímetro seria:

2 p = b + x 2 + a 2 + b - x 2 + a 2

Como percebemos, o triângulo vermelho é similar ao caso azul, então não precisamos representá-lo novamente, já que são parecidos. Como temos que x - b 2 é igual a b - x 2 , podemos generalizar a nossa fórmula do perímetro por:

2 p = b + x 2 + a 2 + x - b 2 + a 2

Passo 2

Vamos derivar a função e igualá-la a 0 para que possamos otimizar a função:

2 p ' = b ' + x 2 + a 2 ' + x - b 2 + a 2 ' = 0

= x x 2 + a 2 + x - b x - b 2 + a 2 = 0

x x 2 + a 2 = x - b x - b 2 + a 2

x x 2 + a 2 2 = x - b x - b 2 + a 2 2

x 2 x - b 2 + a 2 = x - b 2 x 2 + a 2

0 = ( - 2 b x + b 2 ) a 2

2 b x = b 2

x = b 2

Logo, Quando x = b 2 temos o menor perímetro, já que observamos que à medida que o ponto de altura a se afasta da base o perímetro vai aumentar indefinidamente, já que as distâncias tenderiam a . Vamos descobrir quanto valeria o perímetro:

2 p = b + b 2 4 + a 2 + b 2 4 + a 2

= b + 2 b 2 4 + a 2

Resposta

2 p = b + 2 b 2 4 + a 2

Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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