Teorema de Gauss
Considere a superfície do cubo orientada para fora e seja .
- Usando o Teorma da Divergência, ache o fluxo de através desta superfície.
- Verifique o resultado do item anterior calculando o fluxo pela definição.
Passo 1
Letra a)
Como a região limitada por é fechada, sendo essa fronteira orientada positivamente (as normais apontam para fora) podemos aplicar o Teorema de Gauss:
Onde é o cubo descrito no problema.
Agora precisamos calcular . Temos:
Montando a integral
Como é um cubo, podemos escrever:
Isso nos dá
Passo 2
Letra b)
Agora, vamos calcular esse fluxo pela definição
Só que nós temos que repetir isso aí seis vezes, não é?! Para cada face do cubo.
É, não necessariamente, olha o seguinte:
Vamos calcular o fluxo em duas faces: no topo e na base do cubo, e . Parametrizando essas superfícies:
Usamos e como parâmetros porque esses planos são paralelos ao plano , e . Como o cubo tem lado , e .
Ok, agora vamos achar as normais, não precisa fazer produto vetorial nem nada, nós sabemos que essas normais são vetores paralelos ao eixo , um apontando para cima e um para baixo:
Agora, vamos montar as integrais, primeiro . Escrevendo em função da parametrização:
A integral fica
Como o cubo tem lado , a área de cada uma de suas faces é .
Ok, agora vamos para . Escrevendo em função da parametrização:
Levando para a integral
Ok, e agora? Se você reparar, isso vai acontecer para os três pares de faces du cubo, uma integral sempre vai ser zero (por causa do produto escalar) e a outra sempre vai ser a área da face, que é . Logo, temos algo assim: