Teorema de Gauss
Use o Teorema de Divergência para calcular
Onde é a esfera .
Passo 1
Você para olha para essa questão e vê uma integral de superfície escalar. E se pergunta, como diabos eu faço teorema da divergência para uma função escalar.
Vou te falar nem eu sei, mas não precisa saber, infelizmente vamos precisar de um certo macetinho aqui, peço desculpa desde já mas foi a única forma que consegui resolver essa questão, ela é levemente bem bizarra.
Uma coisa que você não deve saber é que quando temos uma integral de superfície vetorial temos algo assim
Certo? Se trocarmos o valor de ali e fizermos a conta, vamos transformar essa integral vetorial em escalar, então na verdade o que temos é
Ou seja
Passo 2
Vamos tentar achar a função para podermos aplicar Gauss.
Antes devemos achar o vetor normal a superfície . A superfície que temos é a esfera
O seu vetor normal vai ser encontrado aqui pelo gradiente, lembrando que quando temos o gradiente temos que pegar o gradiente unitário
Onde
Assim vamos ter
Lembrando que temos uma esfera onde
Vamos ter
Assim vamos ter
Passo 3
Para resolver essa nova equação vamos fazer
Então
Isso nos diz que
E vamos ter
Agora podemos aplicar Gauss
Passo 4
A nossa função está definida em todos os pontos da esfera, e a esfera é uma superfície fechada, então podemos aplicar o teorema da divergência
Pelo teorema da divergência vamos ter
Onde é o sólido que tem como fronteira.
Vamos calcular o divergente da nossa
Então
Então
Como é uma esfera de raio vamos ter