Seja v → = r → | r | 3 , onde r → = x i → + y j → + z k → . Calcule ∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ , onde N → é a normal unitária exterior a S nos seguintes casos:

( b ) S é uma superfície fechada lisa por partes tal que a origem não pertence a S nem à região interior a S .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ

em que o campo vetorial é dado por

v → = r → | r | 3

onde r → = x i → + y j → + z k → . E, a nossa superfície obedece às seguintes condições

( b ) S é uma superfície fechada lisa por partes tal que a origem não pertence a S nem à região interior a S .

Parece complicado, mas essa é uma questão conceitual! O segredo está no fato de que o nosso campo vetorial tem uma simetria esférica partindo da origem e a superfície não contém a origem! Vem comigo!

Passo 2

Vamos fazer um breve esquema aqui do que seria a nossa situação

O fluxo do campo vetorial através de uma superfície está relacionado a quantidade que entra (ou sai) pela superfície. Se a superfície é fechada, e o campo vetorial é externo a esta superfície, tudo que entram irá eventualmente sair, portanto, necessariamente, temos que

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = 0

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = 0

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