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Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Teorema de Gauss

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

F x , y , z = 5 x 3 + 12 x y 2 i + y 3 + e y sen ⁡ z j + 5 z 3 + e y cos ⁡ z k

Através da superfície do sólido entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 2

Passo 1

Antes de mais nada, para começar, como calculamos o fluxo de F ?

ϕ = ∬ S F ∙ n → d S

Bem ele quer que usemos o teorema do divergente, então vamos usar né rs.

Lembra que o teorema do divergente é o mesmo que o teorema de Gauss.

Vamos considerar que o vetor normal a superfície do sólido entre as esferas está orientado positivamente para assim podermos fazer a conta direitinho.

Então vamos ter

ϕ = ∬ S F ∙ n → d S = ∭ W d i v F d W

Onde aquele d i v F é o divergente de F e W é o sólido que ele falou no enunciado.

Passo 2

Vamos agora calcular o divergente

d i v F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

d i v F = 15 x 2 + 12 y 2 + 3 y 2 + e y sen ⁡ z + 15 z 2 - e y sen ⁡ z

d i v F = 15 x 2 + 12 y 2 + 3 y 2 + 15 z 2

d i v F = 15 x 2 + y 2 + z 2

O nosso fluxo vai ser

ϕ = ∭ W 15 x 2 + y 2 + z 2 d W

Onde W é a região entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 2

Passo 3

Temos que resolver aquela integral tripla agora, como vamos fazer isso? Repara que temos duas esferas, e a função da integral tripla tem uma carinha da mesma esfera, então vamos usar coordenadas esféricas

x = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 4

Temos duas esferas completas, isso nos diz que os dois ângulos φ e θ vão variar totalmente, ou seja,

φ ∈ 0 , π

E

θ ∈ 0,2 π

O raio vai variar de uma esfera até a outra.

Uma das esferas tem raio 1 , enquanto a outra tem raio 2 , então

r ∈ 1 , 2

Passo 5

A nossa integral vai ficar

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 π 15 ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 ρ 2 sen ⁡ φ d φ d ρ d θ

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 π 15 ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d φ d ρ d θ

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 π 15 ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d φ d ρ d θ

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 π 15 ρ 2 sen 2 ⁡ φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d φ d ρ d θ

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 π 15 ρ 2 ρ 2 sen ⁡ φ d φ d ρ d θ

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 π 15 ρ 4 sen ⁡ φ d φ d ρ d θ

Integrando vamos ter

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 15 ρ 4 - cos ⁡ φ 0 π d ρ d θ

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 15 ρ 4 - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 d ρ d θ

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 15 ρ 4 1 + 1 d ρ d θ

ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 30 ρ 4 d ρ d θ

ϕ = ∫ 0 2 π 30 ρ 5 5 1 2 d θ

ϕ = ∫ 0 2 π 30 . 2 5 5 - 30 . 1 5 5 d θ

ϕ = ∫ 0 2 π 24 2 - 6 d θ

ϕ = 24 2 - 6 θ 0 2 π

ϕ = 24 2 - 6 2 π

ϕ = 12 π 4 2 - 1

Resposta

ϕ = 12 π 4 2 - 1

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