Teorema de Gauss
Calcule a integral
Onde , é a fronteira da região
Orientada com a normal exterior.
Passo 1
Como é a fronteira de uma região (um volume), sabemos que essa superfície é fechada. Como o campo e a parametrização aqui são muito complicados, vamos tentar usar Gauss, ok?
Vamos começar calculando o divergente disso aí:
Passo 2
Show, agora vamos aplicar o teorema:
Passo 3
Agora precisamos de uma mudança de variáveis. Repara que se a gente fizer a mudança:
A gente consegue fazer essa superfície virar uma esfera, viu?
Isso nos dá
Bom, precisamos do Jacobiano disso aí, temos:
Agora tem que saber calcular determinante, galera, não tem jeito. Se liga:
Ufa.
Passo 4
Agora fazemos a mudança:
Como o volume da esfera de raio é :
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Nos Exercícios 1-4, encontre a divergência do campo.4. O campo de velocidade da Figura 16.13.
Nos Exercícios 1-4, encontre a divergência do campo.
Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo: f → = - y j ^ + z k ^ , e T o cilindro x 2 + y 2 ≤ 16 ,- 2 ≤ z ≤ 2
Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo: f → = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 k ^ e T a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4
(Divergente em coordenadas polares) Seja Ω um campo aberto no semiplano y0 e seja F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , x , y ∈ Ω , com PeQ de classe C 1 . Seja P 1 θ ,ρ = P x , y e Q 1 θ ,ρ = Q x ,