Seja
- Determine o rotacional de .
- Use o Teorema do divergente para calcular
Onde S é a superfície do sólido limitado pelos paraboloides e, orientada positivamente
Passo 1
- Pra determinar o rotacional a gente gravou que:
Passo 2
- O Teorema do divergente (Gauss) nos diz que:
Onde o divisor é:
Então ficamos com:
Passo 3
Agora vamos ver a região que estamos trabalhando.
Se você observar, a interseção entre ambos os paraboloides forma uma circunferência. Isso já nos deixa uma dica de que usaremos outro tipo de coordenadas.
Passo 4
Usando coordenadas cilindicas, ficamos com:
Substitundo:
Igualando as funções e,
Ficamos então que da uma volta completa (0 a ), vai de 0 a e z varia entre as funções .
Passo 5
Montando então a integral, sem esquecer o Jacobiano: