19. Cada um dos exercícios a) - h) dá uma função f(x) e números L , x_0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x₀ em que a desigualdade |f(x) - L| < epsilon seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < |x - x0| < δ , a desigualdade | f(x) - L | < épsilon seja verdadeira.

a) f(x) = x + 1 , L = 5 , x_0 = 4 , ε = 0,01

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nessa questão foi dada uma função f x , um valor de L , x 0 e ϵ . Com esses dados, temos que determinar um intervalo em que f x - L < ϵ em torno de x 0 e assim, obter um valor de δ , tal que δ > 0 que satisfaça a relação 0 < x - x 0 < δ .

Ou seja, primeiro obtemos o intervalo de x que satisfaz f x - L < ϵ e depois obtemos outro intervalo de x dependente de δ , 0 < x - x 0 < δ e comparamos os dois intervalos para obter um valor para δ .

Parece difícil? Bora começar! 😁

Passo 2

Podemos reescrever a inequação f x - L < ϵ como

- ϵ < f x - L < ϵ

Nesse caso, f x =   x + 1 , L = 5 e ϵ = 0 ,   01 , ou seja

- 0,01 < x + 1 - 5 < 0,01

- 0,01 < x - 4 < 0,01

Somando 4 em todos os lados, temos

- 0,01 + 4 < x - 4 + 4 < 0,01 + 4

- 3,99 < x < 4 , 01

Com esse intervalo de x , temos que substituir na inequação 0 < x - x 0 < δ

Como x 0 = 4 ...

- δ < x - 4 < δ

Somando 4 em todos os lados...

- δ + 4 < x < δ + 4

Assim, temos duas inequações para analisar

- 3,99 < x < 4,01 - δ + 4 < x < δ + 4

Dessa relação, podemos tirar que

- 3,99 = - δ + 4

4,01 =   δ + 4

Ou seja

δ = 0,01

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

δ = 0,01

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