Determine o maior conjunto tal que e em seguida construa a composta .
e .
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Esta questĂŁo pede que nĂłs determinemos um conjunto que indica uma imagem para a função dada, de forma que esta imagem esteja contida no domĂnio da função dada. E, por Ășltimo, devemos escrever a função composta . Belezinha? Como fazemos isso? Temos que nos foram dados nesta alternativa as seguintes funçÔes
e, também
O primeiro passo Ă© estudar o domĂnio da função , ou seja, as restriçÔes sobre os valores de , isso Ă© bastante abrangente, mas vamos nos abster de valores complexos, isso nos dĂĄ algumas restriçÔes, belezinha? Vem comigo!
Passo 2
Temos que a função é
Para que isso nĂŁo resulte em uma imagem complexa, temos que o valor de deve ser maior ou igual a zero, desta forma, temos que
Como queremos um conjunto em que precisamos analisar um pouco o formato de nossa função . Bora lå!
Passo 3
A função é
Como queremos que nĂłs queremos que a imagem (os resultados que vocĂȘ obtĂ©m quando coloca valores de em ), sejam maiores que zero, jĂĄ que se considerarmos resultados negativos, estarĂamos fora do domĂnio de nossa outra função! Sacou? Temos entĂŁo que
substituindo nossa função, temos que
Vamos evidenciar um em comum para ficar mais fĂĄcil a nossa anĂĄlise, temos que
No prĂłximo passo vamos analisar os intervalos no qual a imagem Ă© maior do que zero, ou seja, avaliar para quais valores de a desigualdade acima Ă© obedecida! Vamos lĂĄ!
Passo 4
Precisamos manter a seguinte desigualdade
O lado esquerdo da desigualdade tem duas partes, o e o . Precisamos que o produto destes dois termos seja positivo. Ou seja, quando apenas um deles é negativo, o produto é negativo e então temos um intervalo indesejado. Note que se , a nossa desigualdade só serå positiva quando . Agora, se é preciso também que . Todas estas restriçÔes nos levam ao conjunto
Ou em termos de conjuntos
Agora sĂł falta construirmos a nossa composta e acabou, firmeza? Vem comigo!
Passo 5
A função composta é tal que
Ou seja, pegamos nossa e colocamos no lugar do ââ em , sacou? Desse jeitinho aqui
O domĂnio desta função Ă© dado pelo conjunto , e esse Ă© o ponto todo desta questĂŁo! O domĂnio da função composta Ă© o maior conjunto em que . A questĂŁo Ă© isso! te vejo na prĂłxima! Tchau Tchau!
Resposta
e