UFSCAR - Sem Campus - Cálculo 1 - Listas - Teste 9 - Listas de Estudos Cálculo 1 - UFSCAR - Lista 1 - Versão 2 - Questão 7 - Alternativa a
Determine o maior conjunto tal que e em seguida construa a composta .
e .
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Esta questão pede que nós determinemos um conjunto que indica uma imagem para a função dada, de forma que esta imagem esteja contida no domínio da função dada. E, por último, devemos escrever a função composta . Belezinha? Como fazemos isso? Temos que nos foram dados nesta alternativa as seguintes funções
e, também
O primeiro passo é estudar o domínio da função , ou seja, as restrições sobre os valores de , isso é bastante abrangente, mas vamos nos abster de valores complexos, isso nos dá algumas restrições, belezinha? Vem comigo!
Passo 2
Temos que a função é
Para que isso não resulte em uma imagem complexa, temos que o valor de deve ser maior ou igual a zero, desta forma, temos que
Como queremos um conjunto em que precisamos analisar um pouco o formato de nossa função . Bora lá!
Passo 3
A função é
Como queremos que nós queremos que a imagem (os resultados que você obtém quando coloca valores de em ), sejam maiores que zero, já que se considerarmos resultados negativos, estaríamos fora do domínio de nossa outra função! Sacou? Temos então que
substituindo nossa função, temos que
Vamos evidenciar um em comum para ficar mais fácil a nossa análise, temos que
No próximo passo vamos analisar os intervalos no qual a imagem é maior do que zero, ou seja, avaliar para quais valores de a desigualdade acima é obedecida! Vamos lá!
Passo 4
Precisamos manter a seguinte desigualdade
O lado esquerdo da desigualdade tem duas partes, o e o . Precisamos que o produto destes dois termos seja positivo. Ou seja, quando apenas um deles é negativo, o produto é negativo e então temos um intervalo indesejado. Note que se , a nossa desigualdade só será positiva quando . Agora, se é preciso também que . Todas estas restrições nos levam ao conjunto
Ou em termos de conjuntos
Agora só falta construirmos a nossa composta e acabou, firmeza? Vem comigo!
Passo 5
A função composta é tal que
Ou seja, pegamos nossa e colocamos no lugar do “” em , sacou? Desse jeitinho aqui
O domínio desta função é dado pelo conjunto , e esse é o ponto todo desta questão! O domínio da função composta é o maior conjunto em que . A questão é isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
e