Determine o maior conjunto A tal que I m f ⊂ 𝓓 g e em seguida construa a composta h ( x ) = g ( f ( x ) ) .

a )   g ( x ) = x e f : A → ℝ ,   f ( x ) = x 2 - x .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Esta questão pede que nós determinemos um conjunto A que indica uma imagem para a função f ( x ) dada, de forma que esta imagem esteja contida no domínio da função g ( x ) dada. E, por último, devemos escrever a função composta h ( x ) . Belezinha? Como fazemos isso? Temos que nos foram dados nesta alternativa as seguintes funções

f ( x ) = x 2 - x

e, também

g ( x ) = x

O primeiro passo é estudar o domínio da função g ( x ) , ou seja, as restrições sobre os valores de x , isso é bastante abrangente, mas vamos nos abster de valores complexos, isso nos dá algumas restrições, belezinha? Vem comigo!

Passo 2

Temos que a função g ( x ) é

g ( x ) = x

Para que isso não resulte em uma imagem complexa, temos que o valor de x deve ser maior ou igual a zero, desta forma, temos que

𝓓 g = { x ∈ ℝ | x ≥ 0 }

Como queremos um conjunto A em que I m f ⊂ 𝓓 g precisamos analisar um pouco o formato de nossa função f ( x ) . Bora lá!

Passo 3

A função f ( x ) é

f ( x ) = x 2 - x

Como queremos que I m f ⊂ 𝓓 g nós queremos que a imagem (os resultados que você obtém quando coloca valores de x em f ), sejam maiores que zero, já que se considerarmos resultados negativos, estaríamos fora do domínio de nossa outra função! Sacou? Temos então que

f ( x ) ≥ 0

substituindo nossa função, temos que

x 2 - x ≥ 0

Vamos evidenciar um x em comum para ficar mais fácil a nossa análise, temos que

x ( x - 1 ) ≥ 0

No próximo passo vamos analisar os intervalos no qual a imagem é maior do que zero, ou seja, avaliar para quais valores de x a desigualdade acima é obedecida! Vamos lá!

Passo 4

Precisamos manter a seguinte desigualdade

x ( x - 1 ) ≥ 0

O lado esquerdo da desigualdade tem duas partes, o x e o x - 1 . Precisamos que o produto destes dois termos seja positivo. Ou seja, quando apenas um deles é negativo, o produto é negativo e então temos um intervalo indesejado. Note que se x ≤ 0 , a nossa desigualdade só será positiva quando x ≤ 1 . Agora, se x ≥ 0 é preciso também que x ≥ 1 . Todas estas restrições nos levam ao conjunto

A = { x ∈ ℝ | - ∞ ≤ x ≤ 1   o u   1 ≤ x ≤ ∞ }

Ou em termos de conjuntos

A = ( - ∞ , 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ )

Agora só falta construirmos a nossa composta e acabou, firmeza? Vem comigo!

Passo 5

A função composta é tal que

h ( x ) = g ( f ( x ) )

Ou seja, pegamos nossa f ( x ) e colocamos no lugar do “ x ” em g ( x ) , sacou? Desse jeitinho aqui

h ( x ) = x 2 - x

O domínio desta função é dado pelo conjunto A , e esse é o ponto todo desta questão! O domínio da função composta é o maior conjunto em que I m f ⊂ 𝓓 g . A questão é isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = ( - ∞ , 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) e h ( x ) = x 2 - x

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