19. Cada um dos exercícios a) - h) dá uma função f(x) e números L , x₀ e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x₀ em que a desigualdade | f(x) - L | < épsilon seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < |x - x₀| < δ , a desigualdade |f(x) - L| < epsilon seja verdadeira.

f) f(x) = x^2 - 5 , L = 11 , x₀ = 4 , ϵ = 1

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nessa questão foi dada uma função f x , um valor de L , x 0 e ϵ . Com esses dados, temos que determinar um intervalo em que f x - L < ϵ em torno de x 0 e assim, obter um valor de δ , tal que δ > 0 que satisfaça a relação 0 < x - x 0 < δ .

Ou seja, primeiro obtemos o intervalo de x que satisfaz f x - L < ϵ e depois obtemos outro intervalo de x dependente de δ , dado por 0 < x - x 0 < δ e comparamos os dois intervalos para obter um valor para δ .

Parece difícil? Bora começar! 😁

Passo 2

Podemos reescrever a inequação f x - L < ϵ como

- ϵ < f x - L < ϵ

Nesse caso, f x = x 2 - 5 , L = 11 e ϵ = 1 , ou seja

- 1 < x 2 - 5 - 11 < 1

Vamos isolar x no centro das desigualdades

- 1 < x 2 - 1 6 < 1

- 1 + 16 < x 2 - 16 + 16 < 1 + 16

15 < x 2 < 1 7

Tirando a raiz de todos os lados para eliminar o expoente 2 de x

15 < x 2 < 1 7

15 < x < 17

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos obter o valor de δ !

x - x 0 < δ

Se x 0 = 4 , temos

x - 4 < δ

A partir dessas desigualdades, podemos ver que

15 < x < 17 x - 4 < δ

δ = 15 - 4 = 0,12

δ = 1 7 - 4 = 0,12

Portanto, obtemos que

δ = 0,12

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

δ = 0,12

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