USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.11
Prove que existe um único tal que .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para provar que existe um número real que satisfaça a seguinte igualdade:
Para provarmos isso, podemos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Zero de Funções.
Esse teorema diz o seguinte:
“Suponha que é uma função contínua definida em um intervalo fechado e que e tem sinais opostos. Então, existe pelo menos um valor no intervalo aberto para o qual . Além disso, se é diferenciável em e para todo nesse intervalo, então o valor é único”.
Eita... muita coisa né?
Mas não se desespere não!! Vamos devagarinho que vai dar certo!!!
Mas antes, vamos definir o seguinte... Seja a nossa função que é dada por:
Observe que é uma função contínua em todo , pois e são funções contínuas.
Agora bora lá aplicar esse Teorema!!
😉
Passo 2
Assim, primeiramente, vamos verificar a existência de um valor tal que .
Observe que:
Logo, percebe-se que .
E, por outro lado:
Logo, percebe-se que .
Nesse sentido, pelo Teorema do Valor Intermediário, concluímos que existe pelo menos um valor no intervalo aberto para o qual .
Assim, a existência de é estabelecida!
Agora, precisamos provar que esse é único!
Passo 3
Agora, suponha que existam dois valores distintos e tais que:
Isso significa dizer que:
E
Bom... Sabemos que a função cosseno é limitada no intervalo , enquanto a função é ilimitada. Portanto, não é possível que ambos os valores e satisfaçam as equações acima.
Dessa forma, provamos que o é único!!
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)