19. Cada um dos exercícios a) - h) dá uma função f(x) e números L , x₀ e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x0 em que a desigualdade | f(x) - L | < epsilon seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < | x - x0 | < δ , a desigualdade | f(x) - L | < ε seja verdadeira.

b) f(x) = raiz(x + 1) , L = 1 , x₀ = 0 , ϵ = 0,1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi dada uma função f x , um valor de L , x 0 e ϵ . Com esses dados, temos que determinar um intervalo em que f x - L < ϵ em torno de x 0 e assim, obter um valor de δ , tal que δ > 0 que satisfaça a relação 0 < x - x 0 < δ .

Ou seja, primeiro obtemos o intervalo de x que satisfaz f x - L < ϵ e depois obtemos outro intervalo de x dependente de δ , dado por 0 < x - x 0 < δ ou - δ < x - x 0 < δ e comparamos os dois intervalos para obter um valor para δ .

Parece difícil? Bora começar! 😁

Passo 2

Podemos reescrever a inequação f x - L < ϵ como

- ϵ < f x - L < ϵ

Nesse caso, f x =   x + 1 , L = 1 e ϵ = 0,1 , ou seja

- 0,1 < x + 1 - 1 < 0,1

Somando 1 em todos os lados...

- 0,1 + 1 < x + 1 - 1 + 1 < 0,1 + 1

- 0 , 9 < x + 1 < 1 , 1

Elevando todos os lados ao quadrado para eliminar a raiz...

- 0,9 2 < x + 1 2 < 1,1 2 → 0,81 < x + 1 < 1,21

Isolando x

0,81 - 1 < x + 1 - 1 < 1,21 - 1

- 0,19 < x < 0 , 21

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos obter o valor de δ a partir da inequação

- δ < x - x 0 < δ

Se x 0 = 0 , então

- δ < x < δ

Agora se - 0,19 < x < 0,21

Podemos dizer que δ = 0,19 ou δ = 0,21

Se δ for igual a 0,21 , o intervalo que obtemos no início da questão será corrompido, então vamos ficar com o menor valor

δ = 0,19

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

δ = 0,19

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Seja ε0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y , tem-se:|x - y|epsilon^2 ⇒ |raiz(x) - raiz(y)|epsilon
A afirmação:“para todo real x ≥ 0 , x ≥ x ”é falsa ou verdadeira? Justifique.
Determine uma aproximação por volta, com duas casas casas decimais exatas, de raiz(10, 3) .
Prove que é irracional.(a) sqrt(6) (b) sqrt(2) + sqrt(3)