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Exercícios Resolvidos de Conjuntos Numéricos

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Enunciado

Sejam dados os conjuntos:

A = { 5 k   |   k ∈ N } ,   B = { 3 h   |   h ∈ N } ,   C = { a + b   |   a ∈ A   e   b ∈ B } ,   D = { n ∈ N   |   n ≥ 8 }

( a ) Determine o conjunto A ∩ B .

b Determine o conjunto C \ D .

Passo 1

Começando pelo começo...

a   D e t e r m i n e   o   c o n j u n t o   A ∩ B

Nessa questão, ele quer a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, precisamos ver quais elementos estão em A e em B ao mesmo tempo.

Bora fazer um esboço dos conjuntos, ok?

A é um conjunto dos múltiplos não-negativos de 5 :

A = { 5 k   |   k ∈ N } = { 0 ,   5 ,   10 ,   15 ,   20 ,   25 ,   30 ,   … }

B é um conjunto dos múltiplos não-negativos de 3 :

B = { 3 h   |   h ∈ N } = { 0 ,   3 ,   6 ,   9 ,   12 ,   15 ,   18 ,   21 ,   24 ,   27 ,   30 ,   … }

Então de cara podemos fazer assim:

A ∩ B = 0 ,   15 ,   30 ,   …

Mas qual é a característica desses números? Anjo, eles são divisíveis por ambos 3 e 5 . E um número divisível por 3 e 5 , é divisível por 15 , pois ( 3 × 5 = 15 ) . Então é justo dizer que:

A ∩ B = 0 ,   15 ,   30 ,   45 ,   60 ,   … = { 15 k   |   k ∈ N }

Passo 2

Agora a próxima diz assim:

b   D e t e r m i n e   o   c o n j u n t o   C \ D

Eu vou te testar!!! O que significa C \ D ?

Se você respondeu C - D , está correto! Essa operação quer dizer o que? Quer dizer que eu estou pegando o conjunto C e tirando todos os elementos que estão em D .

Vamos fazer um esboço desses conjuntos! Começaremos pelo D que é mais tranquilo:

D = { n ∈ N   |   n ≥ 8 } = { 8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   12 ,   13 ,   … }

Agora vamos no C :

C = { a + b   |   a ∈ A   e   b ∈ B }

Eita ferro, temos um conjunto definido através de outros dois conjuntos. Calma, vamos escrever os conjuntos A e B :

A = { 5 k   |   k ∈ N } = { 0 ,   5 ,   10 ,   15 ,   20 ,   25 ,   30 ,   … }

B = { 3 h   |   h ∈ N } = { 0 ,   3 ,   6 ,   9 ,   12 ,   15 ,   18 ,   21 ,   24 ,   27 ,   30 ,   … }

Então o C gente pode escrever como:

C = { 5 k + 3 m   |   k ∈ N   e   m ∈ N }

E aí nós tirar desse conjunto todos os caras maiores ou iguais a 8 , ou seja, sobrarão os números de 0 a 7 . Porém, não sabemos quais números de 0 a 7 que ficaram.

Percebe só o que to dizendo: para conseguir o número 1 , por exemplo, escrito na forma 5 k + 3 m , precisamos que:

5 × - 1 + 3 × 2 = 1 ,     k = - 1   e   m = 2

Por ter usado o - 1 , saímos do conjunto dos naturais e entramos no conjunto dos inteiros. A mesma coisa acontece com alguns outros.

Façamos o seguinte, vamos tentar escrever os números de 0 a 7 na forma 5 k + 3 m , ok? Se envolver algum número negativo para k ou m , a gente exclui esse cara do conjunto.

0 = 5 × 0 + 3 × 0 ,     k = 0   e   m = 0

1 = 5 × - 1 + 3 × 2 ,     k = - 1   e   m = 2

2 = 5 × 1 + 3 × - 1 ,     k = 1   e   m = - 1

3 = 5 × 0 + 3 × 1 ,     k = 0   e   m = 1

4 = 5 × - 1 + 3 × 3 ,     k = - 1   e   m = 3

5 = 5 × 1 + 3 × 0 ,     k = 1   e   m = 0

6 = 5 × 0 + 3 × 2 ,     k = 0   e   m = 2

7 = 5 × 2 + 3 × - 1 ,     k = 2   e   m = - 1

Então olha aí, os únicos casos em que foram mantidos k ∈ N   e   m ∈ N foram: 0 ,   3 ,   5   e   6 .

Portanto:

C \ D = C - D = { 0 ,   3 ,   5 ,   6 }

Resposta

a   A ∩ B = { 15 k   |   k ∈ N }

b   C \ D = { 0 ,   3 ,   5 ,   6 }

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