Sejam e expressões algébricas em na variável e considere os conjuntos , , , , e . Diga quais itens são verdadeiros ou falsos, corrigindo os itens falsos:

a)

b)

c)

d)

e)

f) )

g) )

h) )

i)

j) )

No item a), nós temos a interseção de dois conjuntos, que resulta no conjunto vazio, . A interseção de dois conjuntos e é o conjunto de todos os elementos que pertecem simultânemente a e a .

Mas no conjunto , temos , e no conjunto temos . Então, os elementos do conjunto são todos diferentes dos elementos do conjunto . Como não existem elementos que possuem simultaneamente a ambos, a interseção entre eles é de fato o conjunto vazio. Assim,

No item b), nós temos outra interseção envolvendo os conjuntos e , que resulta no conjunto vazio, .

No conjunto , nós temos todos os elementos de que são menores do que , . E no conjunto , nós temos todos os elementos de que são maiores do que , .

Como não dá pra ser menor que e maior que ao mesmo tempo, os conjuntos não possuem elementos iguais, e por isso a interseção entre eles é mesmo igual ao conjunto vazio.

No item c), temos . O conjunto inclui todos os elementos que são menores ou iguais a , . O conjunto inclui todos os elementos de que são maiores ou iguais a .

Como aparece nos dois conjuntos, eles teriam elementos que pertencem simultaneamente a ambos. Logo, a interseção entre ele não é igual ao conjunto vazio. Temos:

E .

Na letra d), temos . O conjunto inclui todos os elementos que são menores do que , (). O conjunto inclui todos os elementos que são maiores ou iguais a ().

Como não dá pra ter elementos menores do que e maiores do que ao mesmo tempo, e que o conjunto não inclui , então a interseção entre eles é realmente igual ao conjunto vazio:

Na letra e), temos , que é uma relação de inclusão. A gente diz que o conjunto tá contido num conjunto se, e somente se, todo elemento de também é um elemento de .

Olhando pra o conjunto , nós temos . No conjunto , nós temos . Então, os conjuntos não têm elementos em comum, e não podemos dizer que está contido em .

Seria , lê-se não está conjunto em .

Na letra f), temos . Pra saber se os elementos de estão realmente contidos em , vamos olhar cada conjunto separadamente. No conjunto , temos . No conjunto temos .

Como no conjunto , os elementos são maiores ou iguais a , e no conjunto temos os elementos iguais a , então de fato os elementos de também fazem parte do conjunto . E podemos afirmar:

Na letra g), temos .

Nós vimos no passo anterior que o conjunto é definido pelos elementos que são maiores ou iguais a . No conjunto , nós temos os elementos maiores do que (. Então, de fato o conjunto está contido no conjunto , e temos:

Na letra h), temos .

Agora nós temos no conjunto , os elementos menores ou iguais a () e no conjunto os elementos maiores ou iguais a . Então, eles têm em comum, os elementos , mas isso não significa que um conjunto está contido no outro, porque não engloba todos os elementos de . Sendo assim,

Teríamos .

Na letra i), temos .

Nós já conhecemos os elementos do conjunto , que nós vimos nos passos anteriores. No conjunto , nós temos os elementos de que são diferentes de ().

Não tem como os elementos serem maiores ou iguais a e diferentes de ao mesmo tempo. Então, o conjunto não engloba os elementos do conjunto , e assim:

Teríamos .

E por fim, temos na letra j), .

Vamos ver se engloba os elementos de . No conjunto , nós temos maior do que (). E no conjunto , nós temos os elementos de que são diferentes de ().

Então, nós não temos elementos em comum nos dois conjuntos e podemos dizer que, por isso, o conjunto não está contido em :

Teríamos .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉