Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

Argumentado como no exercício anterior, mostre que

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b ,     ln ⁡ a r = r ln ⁡ a

Para qual qualquer a , b > 0   e r ∈ R .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Primeiro vamos provar a potenciação.

Façamos:

ln ⁡ A = B → A = e B

De modo que:

A c = e B c → ln ⁡ A c = ln ⁡ e C B = B C

E do outro lado:

ln ⁡ A = B → C ln ⁡ A = B C

Igualando:

ln ⁡ e B C = C ln ⁡ A = ln ⁡ A C

Assim, privamos que:

ln ⁡ A C = C ln ⁡ A

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Essa segunda já é mais complicada um pouco, teremos que fazer algumas novas substituições. Veja!

Façamos:

ln ⁡ a = X → e X = a

ln ⁡ b = Y → e Y = b  

ln ⁡ a b = Z → e Z = a b

Agora vamos trabalhar com isso?

Passo 3

Se e Z = a b com a = e X ,   b = e Y , então e Z = e X * e Y = e X + Y . Assim:

e Z = e A + B

Mas também Z = ln ⁡ a b

e ln ⁡ a b = e ln ⁡ a + ln ⁡ b

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

Resposta

A resolução está nos passo-a-passo.

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