Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

Utilize as propriedades dos logaritmos para expandir as expressões abaixo.

j ) log 2 ⁡ x x 2 + 1 x 2 - 1   .

k ) log ⁡ x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2 .

l ) ln ⁡ e x x x 2 + 1 x 4 + 2 3 .

Passo 1

Faaaala povo bonito, tudo bom por aí?

Nessa questão iremos basicamente treinar as nossas propriedades dos logaritmos. A ideia é expandirmos as expressões dadas. Por isso é bem importante ter as principais propriedades bem na ponta da língua. Vamo dar uma revisada:

1 ) log a ⁡ b c = c ⋅ log a ⁡ b

2 ) log a ⁡ M ⋅ N = log a ⁡ M + log a ⁡ N

3 ) log a ⁡ M N = log a ⁡ M - log a ⁡ N

Então tá, agora que revisamos vamos meter bala nesses itens!

Passo 2

Começando pelo item j ) , temos:

log 2 ⁡ x x 2 + 1 x 2 - 1

Usando a nossa propriedade 3 ) , vamos ter:

log 2 ⁡ x x 2 + 1 x 2 - 1 = log 2 ⁡ x ( x 2 + 1 ) - log 2 ⁡ x 2 - 1

Usando a propriedade 2 ) , vamos ter:

log 2 ⁡ x x 2 + 1 x 2 - 1 = log 2 ⁡ x + log 2 ⁡ ( x 2 + 1 ) - log 2 ⁡ x 2 - 1

Mas:

x 2 - 1 = x 2 - 1 1 2

Assim, pela propriedade 1 ) , vamos ficar com:

log 2 ⁡ x x 2 + 1 x 2 - 1 = log 2 ⁡ x + log 2 ⁡ ( x 2 + 1 ) - 1 2 log 2 ⁡ ( x 2 - 1 )

E é isso!! Conseguimos expandir bastante 😊

Passo 3

No item j ) , vamos ter:

log ⁡ x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2

(Quando não aparece nada na base, é porque a base é 10 , beleza?!)

Então, como temos uma raiz em todo o nosso logaritmando, podemos escrever:

x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2 = x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2 1 2

Assim:

log ⁡ x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2 = log ⁡ x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2 1 2

= 1 2 ⋅ log ⁡ x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2

Massa! Vamos usar agora a propriedade 3 ) . Daí:

1 2 ⋅ log ⁡ x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2 = 1 2 ⋅ log ⁡ x 2 + 4 - log ⁡ x 2 + 1 x 3 - 7 2  

Usando a propriedade 1 ) , teremos:

log ⁡ x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2 = 1 2 ⋅ log ⁡ x 2 + 4 - log ⁡ x 2 + 1 - log ⁡ x 3 - 7 2

Usando a propriedade 1 ) no último termo, ficamos com:

log ⁡ x 2 + 4 x 2 + 1 x 3 - 7 2 =   1 2 ⋅ log ⁡ x 2 + 4 - log ⁡ x 2 + 1 - 2 ⋅ log ⁡ ( x 3 - 7 )

Prontinho! Deu pra abrir bastante essa expressão.

Passo 4

Por fim, agora temos:

ln ⁡ e x x x 2 + 1 x 4 + 2 3

Lembrando que o l n é o próprio l o g só que na base e . Assim, as propriedades continuam válidas.

Então, usando a propriedade 1 ) temos:

ln ⁡ e x x x 2 + 1 x 4 + 2 3 = 3 ⋅ ln ⁡ e x x x 2 + 1 x 4 + 2

Podemos usar também a propriedade 3 ) , daí:

ln ⁡ e x x x 2 + 1 x 4 + 2 3 = 3 ⋅ ln ⁡ e x - ln ⁡ x x 2 + 1 x 4 + 2

Lembrando que:

ln ⁡ e x = log e ⁡ e x

= x ⋅ log e ⁡ e = x

Além disso, também podemos usar a propriedade 2 ) no segundo termo. Daí:

ln ⁡ x x 2 + 1 x 4 + 2 = ln ⁡ x + ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + ln ⁡ ( x 4 + 2 )

Substituindo de volta na nossa expressão vamos ter:

3 ⋅ ln ⁡ e x - ln ⁡ x x 2 + 1 x 4 + 2 = 3 ⋅ x - ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 1 - ln ⁡ x 4 + 2

E é isso!!

ln ⁡ e x x x 2 + 1 x 4 + 2 3 =   3 ⋅ x - ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 1 - ln ⁡ x 4 + 2

Aee! Terminamos a questão!

Conseguiram entender bem o raciocínio? Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

j )   log 2 ⁡ x + log 2 ⁡ ( x 2 + 1 ) - 1 2 log 2 ⁡ ( x 2 - 1 )

k ) 1 2 ⋅ log ⁡ x 2 + 4 - log ⁡ x 2 + 1 - 2 ⋅ log ⁡ ( x 3 - 7 )

l )   3 ⋅ x - ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 1 - ln ⁡ x 4 + 2    

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