Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

1) Seja

f x = ln ⁡ x 2 - 3 x - 1 x + 3

Determine o domínio de f , os valores de x onde a f , os valores de x onde a f se anula e os intervalos onde a f é positiva e onde a f é negativa.

Passo 1

Vamos lá! Em exercícios como esse, temos muuuuito o que fazer, então é hora de arregaçar as mangas e procurar o domínio. Você sempre vai fazer isso procurando problemas, como no caso, sabemos que dentro da raiz, tem que ser maior que 0 ...

x - 1 x + 3 > 0     →

x - 1 x + 3 > 0      

Agora aqui, temos que fazer uma análise de sinal. Vem comigo! ;)

Passo 2

x - 1 x + 3 > 0      

Em casos de produto como esse, analisamos o sinal de um termo que vamos chamar de f ( x ) ...

f x = x - 1

e o outro termo de g x ...

g x = x + 3

Analisar o f x , que é uma reta, é fazer uma espécie de esboço, e pra isso encontremos o zero da função...

f x = 0 = x - 1     →           x = 1

Como a reta é crescente...

Fazendo o mesmo para a g x ...

g x = 0 = x + 3       →           x = - 3

Colocando essas duas retas juntas e fazendo o produto...

Então percebemos que de - ∞ até - 3 e de 1 pra frente, a raiz

x - 1 x + 3

Funciona, pois o termo do interior é positivo (lembre-se de não incluir o 1 e nem o - 3 ), pois se não vai zerar, e vamos ter um zero no denominador, heim! ;)

Passo 3

Mas calma que ainda não acabou a análise do domínio, porque apenas analisamos o denominador

ln ⁡ x 2 - 3 x - 1 x + 3

Mas ainda falta esse logaritmo natural aí, afinal, se você se recordar, o logaritimando (cara que está dentro do logaritmo) deve ser maior que zero para existir...

x 2 - 3 > 0

Por ser uma inequação equação do segundo grau, devemos primeiro resolver a equação, e depois fazer uma análise semelhante a que fizemos no passo anterior... Por um esboço:

x 2 - 3 = 0   →

x 2 = 3   →

x = ± 3  

Por ser uma parábola de concavidade pra cima...

Então para funcionar o logaritmo, devemos ter um x acima de 3 e abaixo de - 3 (não inclui esses números).

Passo 4

Juntando as duas restrições do passo 2 e do passo 3 , lembrando que 3 é um número um pouco maior que 1,7 ...

O Domínio D como pode ver é a junção da restrição do passo 2 com o Passo 3, logo:

D :       ( - ∞ , - 3 ) ∪ 3 ,   ∞

Passo 5

Para os valores de x , onde f se anula...

f x = ln ⁡ x 2 - 3 x - 1 x + 3 = 0

Isso só acontece se o nominador for 0

ln ⁡ x 2 - 3 = 0     →

Por propriedade do l n ...

e 0 = x 2 - 3   →

x 2 - 3 = 1   →

x 2 = 4   →

x = ± 2

Como - 2 não está no domínio, apenas o x = 2 zera a função f .

Passo 6

E como uma última tarefa, para determinar onde a função é positiva, basta fazer uma análise de sinal (semelhante a que fizemos anteriormente), mas agora não só de onde poderia dar ruim, e sim da função como um todo:

Veja só, sabemos que para a função f ser positiva

f x = ln ⁡ x 2 - 3 x - 1 x + 3

O ln ⁡ x 2 - 3 deve ser positivo e a raiz positiva. A raiz é sempre positiva então o sinal de f depende inteiramente do sinal do logaritmo.

O logaritmo só é positivo quando o logaritimando é maior que 1 ...

x 2 - 3 > 1   →

x 2 - 4 = 0

Resolvendo essa igualde primeiro, sabemos que x = ± 2 ...

Então o logaritmo é positivo entre - ∞ e - 2 , e também de 2 ao

Como o trecho de - 3 até - 2 não está no domínio, a função f é positiva de

f > 0       p a r a       x < - 3       o u       x > 2

O pedaço de domínio que sobrou para analisar foi o trechinho entre 3 e 2 ...

Como nesse pedaço, a parábola é negativa, isso significa que o logaritmo ln ⁡ x 2 - 3 é menor que 1 , portanto negativo. Logo a função f ...

f < 0       p a r a     3 < x < 2

Resposta

D o m í n i o :       ( - ∞ , - 3 ) ∪ 3 ,   ∞

f x = 0       e m       x = 2

f > 0       p a r a       x < - 3       o u       x > 2

f < 0       p a r a     3 < x < 2

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