Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

Qual é a única solução real da equação

3 x - 3 - x 2 = 3

  1. x = log 3 ⁡ ( 3 - 10 )
  2. x = log 3 ⁡ ( 9 - 10 )
  3. x = log 3 ⁡ ( 9 + 10 )
  4. x = log 3 ⁡ ( 3 + 10 )
  5. x = 3 - log 3 ⁡ ( 2 )

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

O problema pediu para encontrarmos uma solução para essa equação aqui

3 x - 3 - x 2 = 3

Mas calma! Temos uma equação exponencial! Mas a princípio não podemos igualar as bases e cortar, por causa daquele 2! Então como fazer?

Usando mudança de variável:

y = 3 x

E aí vamos resolver uma equação em y ! Vou te mostrar que fica bem mais fácil assim!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa equação é

3 x - 3 - x 2 = 3

Vou manipular um pouco antes de fazer a mudança de variável

3 x - 3 - x = 6

3 x - 1 3 x = 6

Beleza até aqui? Agora vamos mudar para y !

y - 1 y = 6

Mais simples né?

y :

y 2 - 1 = 6 y

y 2 - 6 y - 1 = 0

Olha só! Chegamos em uma equação de segundo grau!

E daqui vamos encontrar duas raízes:

y = - ( - 6 ) ± ( - 6 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 1 ) 2 ( 1 ) = 6 ± 40 2 = 3 ± 10

Beleza?

Passo 3

Agora vamos voltar para x !

Mas antes precisamos lembrar que o y é um termo EXPONENCIAL, e sabemos que ele não admite imagem negativa

10 > 9 = 3 , a raiz negativa podemos descartar! Por isso temos apenas UMA solução válida!

Voltando para x :

y = 3 x

y = 3 + 10

Daí igualando temos:

3 x = 3 + 10

E agora, como sair daqui?

Aplicando logaritmo dos dois lados! Assim aquele x que está na potência do 3 vai poder descer multiplicando! Saca só

log 3 ⁡ 3 x = log 3 ⁡ 3 + 10

x .   log 3 ⁡ 3 = log 3 ⁡ 3 + 10

Lembrando que log a ⁡ a = 1 , então nosso x finalmente vale

x = log 3 ⁡ 3 + 10

E é essa resposta! Letra (D)

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( D )

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