Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

Diga quais itens são verdadeiros ou falsos. Ignore os valores das variáveis que não estão no domínio da expressão.

a ) log ⁡ x y = log ⁡ x log ⁡ y .

b ) log 2 ⁡ ( x - y ) = log 2 ⁡ x - log 2 ⁡ y .

c ) log 5 ⁡ a b 2 = log 5 ⁡ a - 2 log 5 ⁡ b .

d ) log ⁡ 2 z = z ⋅ log ⁡ 2 .

e )   log ⁡ P log ⁡ Q = log ⁡ P + log ⁡ Q .

f ) log ⁡ a log ⁡ b = log ⁡ a - log ⁡ b .

Passo 1

E aí gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão precisamos avaliar se algumas identidades logarítmicas são realmente verdadeiras. A ideia aqui é usar as propriedades para provar as verdadeiras, e apresentar um contraexemplo para aquelas que são falsas, beleza?

Para isso, vamos revisar algumas propriedades dos logaritmos:

1 ) log a ⁡ b c = c ⋅ log a ⁡ b

2 ) log a ⁡ M ⋅ N = log a ⁡ M + log a ⁡ N

3 ) log a ⁡ M N = log a ⁡ M - log a ⁡ N

Show de bola! Então vamo lá! Mãos à obra haha

Passo 2

No item a ) precisamos verificar se é verdade:

log ⁡ x y = log ⁡ x log ⁡ y

Vamos mexer um pouco do lado esquerdo. Pela propriedade 3 ) , nós sabemos que:

log ⁡ x y = log ⁡ x - log ⁡ y    

Então, para a afirmação do item a ) ser verdadeira precisaríamos ter:

log ⁡ x - log ⁡ y = log ⁡ x log ⁡ y

Mas, isso não é verdade para quaisquer valores de x e y . Por exemplo: se x = 10 3 e y = 1 , temos:

log ⁡ 10 3 1 = log ⁡ 10 3 - log ⁡ 1 = 3

Por outro lado, a expressão:

log ⁡ 10 3 log ⁡ 1

sequer existe, pois log ⁡ 1 = 0 .

Assim, provamos que essa afirmação é falsa 😊

Passo 3

No item b ) , precisamos verificar se é verdade que:

log 2 ⁡ x - y = log 2 ⁡ x - log 2 ⁡ y

Analisando o lado direito pela propriedade 3 ) , podemos escrever que:

log 2 ⁡ x - log 2 ⁡ y = log 2 ⁡ x y

Sendo assim, se a afirmação fosse verdadeira, deveríamos ter:

log 2 ⁡ x - y = log 2 ⁡ x y

para quaisquer valores de x e y . Isso significaria afirmar que:

x - y = x y

Porém, essa afirmação não é verdadeira. Vamos dar outro exemplo pra ficar mais claro. Fazendo x = 2 3 e y = 1 , temos:

log 2 ⁡ 2 3 - 1 ≠ log 2 ⁡ 2 3 - log 2 ⁡ 1

Ou seja, essa afirmação também é falsa!

Passo 4

No item c ) , temos:

log 5 ⁡ a b 2 = log 5 ⁡ a - 2 log 5 ⁡ b

Vamos aplicar algumas propriedades do lado esquerdo para tentar chegar no lado direito.

Pela propriedade 3 ) , temos:

log 5 ⁡ a b 2 = log 5 ⁡ a - log 5 ⁡ b 2

Usando a propriedade 1 ) , vem:

log 5 ⁡ a - log 5 ⁡ b 2 = log 5 ⁡ a - 2 ⋅ log 5 ⁡ b

Ou seja, concluímos que:

log 5 ⁡ a b 2 = log 5 ⁡ a - 2 log 5 ⁡ b

Que é exatamente o que fala a afirmação c ) . Portanto, ela é verdadeira.

Passo 5

No item d ) , temos:

log ⁡ 2 z = z ⋅ log ⁡ 2

Se usarmos a propriedade 1 ) no lado esquerdo, chegaremos exatamente no lado direito:

log ⁡ 2 z = z ⋅ log ⁡ 2

Portanto, essa afirmação também é verdadeira.

Passo 6

No item e ) , precisamos verificar se é verdade que:

log ⁡ P log ⁡ Q = log ⁡ P + log ⁡ Q

Se aplicarmos a propriedade 2 ) do lado direito dessa expressão, vamos ter:

log ⁡ P + log ⁡ Q = l o g ⁡ ( P ⋅ Q )

Então, para a afirmação desse item ser verdadeira, precisaríamos ter:

log ⁡ P log ⁡ Q = log ⁡ ( P ⋅ Q )

Mas essa afirmação não está descrita em nenhuma propriedade. Então, vamos buscar um contraexemplo. Fazendo P = 10 3 e Q = 1 , temos:

Do lado esquerdo:

log ⁡ 10 3 ⋅ log ⁡ 1 = 3 ⋅ 0 = 0

Do lado direito:

log ⁡ ( 10 3 ⋅ 1 ) = 3

Portanto, mostramos que:

log ⁡ P log ⁡ Q ≠ log ⁡ P + log ⁡ Q

Ou seja, a afirmação é falsa.

Passo 7

Por fim, precisamos verificar se:

log ⁡ a log ⁡ b = log ⁡ a - log ⁡ b

Usando a propriedade 3 ) do lado direito:

log ⁡ a - log ⁡ b = log ⁡ a b

Então, o que essa afirmação está falando é equivalente a afirmar que:

log ⁡ a log ⁡ b = log ⁡ a b

Porém, como vimos lá no item a ) , essa afirmação é falsa.

Assim, a afirmação do item f ) também é falsa.

Resposta

a ) Falsa

b )   Falsa

c )   Verdadeira

d ) Verdadeira

e )   Falsa

f )   Falsa

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