11. O valor das expressão é:
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos achar o valor dessa expressão cheia de logaritmos.
Para isso, vamos ter que aplicar nossos conhecimentos sobre as propriedades logarítmicas. Então vamos resolver cada parte dessa soma em separado, aplicando a propriedade mais adequada, e depois juntar os resultados.
Bora lá!
Passo 2
Começando por,
Vamos começar mexendo nessa base decimal e transformando em um número melhor de se trabalhar. Repara que podemos escrever assim,
Com isso, podemos reescrever a nossa função assim,
Parece que piorou, mas agora podemos aplicar a seguinte propriedade de logaritmo,
Logo,
Mas podemos melhorar mais a nossa base, para que ela tenha alguma relação com o nosso argumento para aplicarmos alguma propriedade. Note que
Logo,
Opaaa, repara agora que podemos escrever o nosso argumento da seguinte forma,
Reescrevendo,
Agora podemos aplicar a seguinte propriedade,
Aplicando, ficamos com
Resolvendo,
Passo 3
Para resolver a parte
Galerinha, repara que podemos escrever o nosso argumento dessa forma,
Reescrevendo, ficamos com
Agora podemos aplicar a seguinte propriedade,
Aplicando, ficamos com
Resolvendo,
Passo 4
Por fim, temos a parte
Vamos começar fatorando o nosso e escrevendo ele assim
Reescrevendo, ficamos com
Agora podemos aplicar a seguinte propriedade,
Aplicando, ficamos com
Resolvendo,
Passo 5
Agora que já achamos quanto vale cada parte, podemos fazer o somatório:
Logo,
Prontinho!