Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

Qual é o domínio da função

f x = log x - 1 ⁡ x 2 + x - 2

  1. 1,2 U 2 , + ∞
  2. - 1,0 U 1 , ∞
  3. - ∞ ,   - 1 U 1 , ∞
  4. - ∞ , - 2 U 1 , ∞
  5. ( - ∞ , 2 ) U ( 2 , ∞ )

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

O problema pediu para encontrar o domínio dessa função aqui

f x = log x - 1 ⁡ x 2 + x - 2

Mas calma! A ideia aqui é lembrar das condições de existência de um logaritmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos supor que temos esse logaritmo aqui

log B ⁡ A

Nós temos condições para que ele exista! são essas aqui

A > 0

B > 0   E   B ≠ 0

Então quando A e B são funções que dependem da mesma variável, como o x por exemplo, eles PRECISAM satisfazer TODOS AO MESMO TEMPO as condições de existência!

beleza?

Passo 3

Agora vamos olhar nossa função de novo

f x = log x - 1 ⁡ x 2 + x - 2

Começando pela base B = x - 1 , esse valor deve ser maior do que 0 , então

x - 1 > 0

x > 1

Mas também deve ser diferente de 1 :

x - 1 ≠ 1

x ≠ 2

Aí essas duas condições são para a base e ficam assim em uma reta numérica:

Agora vamos ver para o logaritmando A = x 2 + x - 2 . Ele deve ser positivo:

x 2 + x - 2 > 0

Essa é uma equação de segunda ordem, e aplicando a fórmula de bháskara para descobrir as raízes temos os valores - 2 e 1 ! E como ela é uma parábola de bora pra cima podemos fazer um esboço dela

- 2 e depois de 1 , assim o intervalo de interesse é esse aqui:

e agora? Agora vamos juntar todos esses intervalos e ver onde no domínio que as DUAS CONDIÇÕES são satisfeitas SIMULTANEAMENTE

então o intervalo que ‘funciona’ para os dois ao mesmo tempo é o da terceira linha: entre 1 e 2 (sem incluir nenhum desses pontos, e ali a bolinha é aberta) e depois de 2:

1,2 U 2 , ∞

A alternativa que diz isso é (A)

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( A )

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