Considere a função real f, dada pela lei f(x) = log_x(x^x)

a) Desenhe o gráfico de f(x)

b) Calcule k, k ∈ R de modo que se tenha 16^f(k) = 40. Se necessário, utilize a aproximação: log 2 = 0,3

Passo 1

Primeiramente, vamos falar a respeito do domínio da nossa função, sabemos pela condição de existência que x ≠ 1   e   x > 0 , Show?

Agora, vamos analisar a melhor a nossa lei de formação, observa ela um pouquinho:

f x = log x ⁡ x x

Acho que você concorda comigo que a gente precisa mexer um pouco nela, rs. Afinal, está difícil entender o que faremos... A pergunta que não quer calar é: O que vamos fazer?

Lembra daquelas propriedades que a gente aplicava em logaritmos?

Observe a mágica acontecer:

f x = x

Portanto, o gráfico da função f, NESSE CASO, será o mesmo de uma função do 1º grau!!!

Nosso gráfico vai ficar assim:

Muita atenção as restrições de domínio que vimos acima: x ≠ 1   e   x > 0 . Por isso tanto no x igual a zero quanto no x igual a um, temos a “bolinha aberta”.

Shooow?

Passo 2

Agora vamos a parte b)

No item a) descobrimos que f x = x

Então, por consequência

f k = k

Portanto, podemos escrever

16 f ( k ) = 40

Da seguinte forma:

16 k = 40

2 4 k = 2 ² . 10

2 4 k 2 2 = 10

2 4 k - 2 = 10

Como queremos encontrar um valor que está no expoente, vamos aplicar um logaritmo de base 10 dos dois lados (Lembra? Logaritmo=Expoente).

log ⁡ 2 4 k - 2 = log ⁡ 10

Sendo que log ⁡ 10 = 1

Com isso temos:

( 4 k - 2 ) log ⁡ 2 = 1

O enunciado disse que   log ⁡ 2 = 0,3 , então:

( 4 k - 2 ) ( 0,3 ) = 1

4 k - 2 3 10   = 1

4 k - 2   = 10 3

k = 4 3

Maneiro, né? =D

Resposta

a)

b)       k = 4 3

Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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