Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

Utilize as propriedades dos logaritmos para expandir as expressões abaixo.

a ) log 2 ⁡ ( 2 x ) .

b ) log 3 ⁡ ( 5 y ) .

c ) log 2 ⁡ x x - 1 .

d ) log 5 ⁡ x 2 .

e ) log 2 ⁡ ( A B 2 ) .

f ) log 3 ⁡ ( x y ) .

g ) log 2 ⁡ x y 10 .

h ) log a ⁡ x 2 y z 3 .

i ) ln ⁡ 3 r 2 s 3 .

Passo 1

E aí galera, como estão as coisas por aí? Aqui tá tudo certo 😊

Nessa questão iremos basicamente treinar as nossas propriedades dos logaritmos. A ideia é expandirmos as expressões dadas. Por isso é bem importante ter as principais propriedades bem na ponta da língua. Vamo dar uma revisada:

1 ) log a ⁡ b c = c ⋅ log a ⁡ b

2 ) log a ⁡ M ⋅ N = log a ⁡ M + log a ⁡ N

3 ) log a ⁡ M N = log a ⁡ M - log a ⁡ N

Então tá, agora que revisamos vamos meter bala nesses itens!

Passo 2

No item a ) , temos:

log 2 ⁡ 2 x

Usando 2 ) , temos:

log 2 ⁡ 2 x = log 2 ⁡ 2 + log 2 ⁡ x

Como log 2 ⁡ 2 = 1 , temos:

l o g 2 2 x = 1 + l o g 2 x

Excelente!

No item b ) , temos:

log 3 ⁡ 5 y

Usando 2 ) :

log 3 ⁡ ( 5 y ) = log 3 ⁡ 5 + log 3 ⁡ y

E nesse caso encerramos aí!

Passo 3

Indo agora para o item c ) , temos:

log 2 ⁡ x x - 1

Aplicando novamente a propriedade 2 ) , temos:

log 2 ⁡ x x - 1 = log 2 ⁡ x + log 2 ⁡ x - 1

Aqui é importante ficar ligado pra não se enganar e multiplicar o termo do logaritmando pra depois tentar separar. Se multiplicássemos, teríamos:

log 2 ⁡ x x - 1 = log 2 ⁡ x 2 - x

Mas, não conseguimos expandir isso por nenhuma propriedade. Sacou?

Indo agora para o item d ) , temos:

log 5 ⁡ x 2

Usando nossa propriedade 3 ) , temos:

log 5 ⁡ x 2 = log 5 ⁡ x - log 5 ⁡ 2

Aqui também não conseguimos expandir muito além disso.

Passo 4

No item e ) , vamos ter:

log 2 ⁡ ( A B 2 )

Aqui podemos brincar um pouco mais. Usando primeiramente a propriedade 2 ) , temos:

log 2 ⁡ A B 2 = log 2 ⁡ A + log 2 ⁡ B 2

Usando agora a propriedade 1 ) :

log 2 ⁡ A + log 2 ⁡ B 2 = log 2 ⁡ A + 2 ⋅ log 2 ⁡ B

Prontinho!

No item f ) , temos:

log 3 ⁡ ( x y )

Novamente usando primeiro a propriedade 2 ) , vem:

log 3 ⁡ ( x y ) = log 3 ⁡ x + log 3 ⁡ y

Como y = y 1 / 2 , vem pela propriedade 1 ) :

log 3 ⁡ ( x y ) = log 3 ⁡ x + 1 2 log 3 ⁡ y

No item g ) :

log 2 ⁡ x y 10

Já podemos começar usando a propriedade 1 ) , pois todo o logaritmando está elevado a 10 . Assim:

log 2 ⁡ x y 10 = 10 ⋅ log 2 ⁡ x y

Usando agora a propriedade 2 ) , temos:

log 2 ⁡ x y 10 = 10 ⋅ log 2 ⁡ x + log 2 ⁡ y

Passo 5

No item h ) , temos:

log a ⁡ x 2 y z 3

Usando primeiro a propriedade 3 ) , temos:

log a ⁡ x 2 y z 3 = log a ⁡ x 2 - log a ⁡ y z 3

Usando agora a propriedade 2 ) no segundo termo, vamos ter:

log a ⁡ x 2 y z 3 = log a ⁡ x 2 - log a ⁡ y - log a ⁡ z 3

Usando 1 ) , vamos ter:

log a ⁡ x 2 y z 3 = 2 ⋅ log a ⁡ x - log a ⁡ y - 3 ⋅ log a ⁡ z

Muito bom!

Indo agora pro último item (ufaaa), vamos ter:

ln ⁡ 3 r 2 s 3

O l n nada mais é do que o logaritmo na base e . Assim, continua valendo todas as propriedades.

Podemos reescrever a expressão como:

ln ⁡ 3 r 2 s 3 =   ln ⁡ 3 r 2 s 1 / 3

Pela propriedade 1 ) :

ln ⁡ 3 r 2 s 3 = 1 3 ⋅ ln ⁡ 3 r 2 s

Usando a propriedade 2 ) , teremos:

ln ⁡ 3 r 2 s 3 = 1 3 ⋅ ln ⁡ 3 + ln ⁡ r 2 + ln ⁡ s

Usando novamente 1 ) , vamos ter:

ln ⁡ 3 r 2 s 3 = 1 3 ⋅ ln ⁡ 3 + 2 ln ⁡ r + ln ⁡ s

Prontinho!!! Agora sim.

Matamos mais uma questão 😊 Até a próxima pessoal!

Resposta

a )   l o g 2 2 x = 1 + l o g 2 x

b )   log 3 ⁡ ( 5 y ) = log 3 ⁡ 5 + log 3 ⁡ y

c )   log 2 ⁡ x x - 1 = log 2 ⁡ x + log 2 ⁡ x - 1

d )   log 5 ⁡ x 2 = log 5 ⁡ x - log 5 ⁡ 2

e )   log 2 ⁡ A + 2 ⋅ log 2 ⁡ B

f )   log 3 ⁡ x + 1 2 log 3 ⁡ y  

g )   log 2 ⁡ x y 10 = 10 ⋅ log 2 ⁡ x + log 2 ⁡ y

h )   2 ⋅ log a ⁡ x - log a ⁡ y - 3 ⋅ log a ⁡ z

i )   1 3 ⋅ ln ⁡ 3 + 2 ln ⁡ r + ln ⁡ s  

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