Exercícios Resolvidos de Função Logarítmica

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Enunciado

Utilize as propriedades dos logaritmos para determinar o valor das expressões abaixo.

a ) log 3 ⁡ 27 .

b ) log 2 ⁡ 160 - log 2 ⁡ 5 .

c ) log ⁡ 4 + log ⁡ 25 .

d ) log ⁡ 1 1000 .

e ) log 4 ⁡ 192 - log 4 ⁡ 3 .

f ) log 12 ⁡ 9 + log 12 ⁡ 16 .

Passo 1

Ooi pessoal, como vocês estão? Animadosss?

Nessa questão iremos utilizar algumas propriedades dos logaritmos pra determinar o valor de algumas expressões dadas pelo enunciado.

A principal ideia é sempre utilizar as propriedades do logaritmo até cair em algo do tipo

log a ⁡ a = 1

Algumas propriedades que vão ser bem ��teis aqui:

1 ) log a ⁡ b c = c ⋅ log a ⁡ b

2 ) log a ⁡ M ⋅ N = log a ⁡ M + log a ⁡ N

3 ) log a ⁡ M N = log a ⁡ M - log a ⁡ N

Massa! Agora vamo lá, mãos à obra!

Passo 2

Começando pelo item a ) , temos:

log 3 ⁡ 27

Usando que:

27 = 3 3

∴ 27 = 3 3 2

Temos:

log 3 ⁡ 27 = log 3 ⁡ 3 3 2

Usando a propriedade 1 ) :

log 3 ⁡ 3 3 / 2 = 3 2 ⋅ log 3 ⁡ 3 = 3 2

Muito bom!

Passo 3

No item b ) , temos:

log 2 ⁡ 160 - log 2 ⁡ 5

Usando a propriedade 3 ) , essa expressão é igual a:

log 2 ⁡ 160 - log 2 ⁡ 5 = log 2 ⁡ 160 5

= log 2 ⁡ 32

Mas, como 32 = 2 5 , temos:

log 2 ⁡ 32 = log 2 ⁡ 2 5

Que por 1 ) , vale:

log 2 ⁡ 2 5 = 5

Assim, concluímos que:

log 2 ⁡ 160 - log 2 ⁡ 5 = 5

Passo 4

No item c ) , temos:

log ⁡ 4 + log ⁡ 25

Pela propriedade 2 ) , podemos escrever que:

log ⁡ 4 + log ⁡ 25 = log ⁡ 4 ⋅ 25 = log ⁡ 100

Mas, a base desse logaritmo é 10 , e também 100 = 10 2 . Assim:

log ⁡ 100 = log 10 ⁡ 10 2 = 2

Portanto:

log ⁡ 4 + log ⁡ 25 = 2

Passo 5

No item d ) , temos:

log ⁡ 1 1000

Vamos trabalhar um pouco o logaritmando:

1 1000 = 1 10 3

= 1 10 3 / 2

= 10 - 3 2

Assim,

log ⁡ 1 1000 = log ⁡ 10 - 3 2

Usando a propriedade 1 ) :

log ⁡ 10 - 3 2 = - 3 2

Prontinho:

log ⁡ 1 1000 = - 3 2

Passo 6

No item e ) , temos:

log 4 ⁡ 192 - log 4 ⁡ 3

Usando a propriedade 3 ) , temos;

log 4 ⁡ 192 - log 4 ⁡ 3 = log 4 ⁡ 192 3

= log 4 ⁡ 64

Mas, como:

64 = 4 3

Vamos ter:

log 4 ⁡ 64 = log 4 ⁡ 4 3 = 3

Ou sejaaa:

log 4 ⁡ 192 - log 4 ⁡ 3 = 3

Passo 7

Pra encerrarrrr, temos no item f ) :

log 12 ⁡ 9 + log 12 ⁡ 16

Usando a propriedade 2 ) :

log 12 ⁡ 9 + log 12 ⁡ 16 = log 12 ⁡ 9 ⋅ 16

= log 12 ⁡ 144

Mas, como:

144 = 12 2

Temos:

log 12 ⁡ 144 = log 12 ⁡ 12 2 = 2

Portanto:

log 12 ⁡ 9 + log 12 ⁡ 16 = 2

Prontinho gente! Matamos mais uma questãozita!

Muito obrigado pela atenção, tamo junto!

Resposta

a )   3 / 2  

b )   5

c )   2

d ) - 3 2

e )   3

f )   2

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