Listas de C2 - UFMG 2022.2 de Cálculo 2 da UFMG - 2ª Lista

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

A função pode ser escrita como série de potências com raio de convergência infinito. Ache a série de potências desta função em torno de 0.

A função pode ser escrita como série de potências com raio de convergência infinito. Ache a série de potências desta função em torno de 0.

A função

É representada por uma série de potências. Ache essa série.

Ache o raio de convergência da série de potências da função

Mostre que a função definida por

Satisfaz a equação diferencial

A função

É representada por uma série de potências no intervalo . Ache essa série de potências.

A função

É representada por uma série de potências no intervalo . Ache essa série de potências. Depois ache a série de potências que representa a função

Calcule os limites

Calcule os limites

Calcule os limites

Calcule os limites

Definimos as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico por:

e

Calcule suas séries de Taylor em torno de .

Calcule o comprimento das curvas dadas:

Calcule o comprimento das curvas dadas:

Calcule o comprimento das curvas dadas:

Calcule o comprimento das curvas dadas:

Ache a equação em coordenadas polares para as curvas representadas pelas equações:

a)

Ache a equação em coordenadas polares para as curvas representadas pelas equações:

b)

Ache a equação em coordenadas polares para as curvas representadas pelas equações:

c)

Ache a equação em coordenadas polares para as curvas representadas pelas equações:

d)

Ache a equação em coordenadas polares para as curvas representadas pelas equações:

e)

Ache a área delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares:

a)

para

Ache a área delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares:

b)

para

Ache a área delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares:

c)

para

Ache a área delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares:

d)

para

Diremos que um polinômio p(x) de ordem k é uma aproximação de ordem k de

uma função contínua f(x) para x “pequeno” se o limite

existe e é finito. Neste caso, diremos que f(x) ≃ p(x). No Exercício 6 foi visto que

. Use isto para mostrar que

Na teoria da relatividade especial, a massa de um objeto se movendo com

velocidade é

onde é a massa do objeto em repouso e é a velocidade da luz. Neste caso a

energia cinética é dada por

Já a energia cinética na física clássica é calculada como

Use o Exercício 8 para mostrar que quando a velocidade é pequena

comparada com a velocidade da luz.

Escreva uma curva parametrizada que passa por todos os pontos que satisfazem a equação:

Escreva uma curva parametrizada que passa por todos os pontos que satisfazem a equação:

para .

Esboce a imagem desta curva. O que acontece com esta imagem quando o valor

de varia?

Seja um número real positivo. Considere uma função derivável

tal que r para todo . Prove que

Suponha que a função satisfaz para todo . Deste modo, podemos definir por:

Assuma que é derivável.

Mostre que

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva

onde da forma

Note que

Assim o comprimento do arco da curva é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva

onde da forma

Note que

Assim o comprimento do arco da curva é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva

onde da forma

Note que

Assim o comprimento do arco da curva é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva

onde da forma

Note que

Assim o comprimento do arco da curva é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva

Suponha que a fun��ão satisfaz para todo . Deste modo, podemos definir por:

Assuma que é derivável.

Mostre que

A função definida por

Possui todas as derivadas.

Calcule a série de Taylor de .

Dica: Use que

Para concluir que se então