A função

f(x) = x^4 / (2 - x)

É representada por uma série de potências. Ache essa série.

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

A função f x = x 4 2 - x

Pode ser escrita como uma série de potências, mas como assim?

Na verdade, qualquer função pode! É a série de Maclaurin

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Mas temos um pulo do gato!

Algumas séries já são conhecidas! E uma delas é a série geométrica

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Então a ideia é reescrever a função que temos para poder usar essa série!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar olhando nossa função

f x = x 4 2 - x = x 4 2 . 1 1 - x 2

tudo bem?

Agora vamos usar nossa série com x → ( x 2 )

1 1 - x 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 n

Tudo bem até aqui?

Passo 3

E agora vamos multiplicar por x 4 , pois é isso que falta para termos nossa função!

x 4 . 1 1 - x 2 = x 4 ∑ n = 0 ∞ x n 2 n

E por fim podemos agrupar os x

f x = ∑ n = 0 ∞ x n + 4 2 n

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x n + 4 2 n

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