Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

Ver Teoria
Exercício 481234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647495051525354555657585960616263646566676869

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2π/222.2 - 2ª Lista, Questão 17d

Ache a área delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares:

d)

r = log ⁡ θ para θ ∈ 1,2 π

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar a área nos intervalos de 1 a 2 π da seguinte função dada em coordenadas polares:

r = log ⁡ θ

Mas antes, vamos entender um pouquinho sobre as coordenadas polares.

Na coordenada polar, um ponto é representado por sua distância do ponto de origem ( r ) e pelo ângulo formado com o eixo x positivo ( θ ), ou seja:

Assim, através da trigonometria, podemos observar as seguintes relações:

θ = tan - 1 ⁡ y x

r = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Nesse sentido, vale lembrar que a área A de uma função f ( θ ) (em um intervalo [ a , b ] ) dada em coordenadas polares é dada por:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2   d θ  

Dessa forma, temos que aplicar nossa função nessa fórmula!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, pelo que o enunciado nos deu, temos que:

f θ = r = log ⁡ θ

Nesse sentido, aplicando o intervalo de integração que também nos foi dado, temos que a nossa área é dada por:

A = ∫ 1 2 π 1 2 log ⁡ θ 2   d θ   ∴

A = 1 2 ∫ 1 2 π log ⁡ θ   d θ   ∴

Fazendo u = log ⁡ θ ∴ d u = 1 θ ln ⁡ 10 e v = θ ∴ d v = d θ , aplicando a integral por partes, temos:

A = 1 2 θ * log ⁡ θ - ∫ θ θ ln ⁡ 10 d θ 2 π 1 ∴

A = 1 2 θ * log ⁡ θ - ∫ 1 ln ⁡ 10 d θ 2 π 1 ∴

A = 1 2 θ * log ⁡ θ - θ ln ⁡ 10 2 π 1 ∴

A = - 2 π + 2 π ln ⁡ 2 π + 1 2 ln ⁡ 10

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = - 2 π + 2 π ln ⁡ 2 π + 1 2 ln ⁡ 10

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos. P a r á b o l a , v é r t i c ee m4 ,3 π 2 á é
A órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse com excentricidade 0,093 e semieixo maior 2,28.10 8k m . Encontre uma equação polar da órbita.
O cometa Hale-Bopp, descoberto em 1995 , tem uma órbita elíptica com excentricidade 0,9951 e o comprimento do eixo maior é 356,5A U . Encontre uma equação polar para a órbita desse cometa. Quão perto
A órbita do cometa Halley, visto pela última vez em 1986 e com retorno esperado para 2062 , é uma elipse com excentricidade 0,97 e com um foco no Sol. O comprimento do eixo maior é 36,18A U . [Uma uni
Usar r0 e- 2 πθ ≤ 0 Para escrever os pontos P 1 3 , - 1 e P 2 - 2 ,- 2 em coordenadas polares.