Ache a equação em coordenadas polares para as curvas representadas pelas equações:

d)

x^2 + y^2 = 6y

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar a equação em coordenadas polares para a seguinte curva:

x 2 + y 2 = 6 y

Mas antes, vamos entender um pouquinho sobre as coordenadas polares.

Na coordenada polar, um ponto é representado por sua distância do ponto de origem ( r ) e pelo ângulo formado com o eixo x positivo ( θ ), ou seja:

Assim, através da trigonometria, podemos observar as seguintes relações:

θ = tan - 1 ⁡ y x

r = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Dessa forma, basta aplicarmos essas relações na equação da curva que nos foi dada!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, substituindo x   =   r cos ⁡ θ e y   =   r sin ⁡ θ na equação x 2 + y 2 = 6 y , temos:

r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 = 6 r sin ⁡ θ ∴

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ = 6 r sin ⁡ θ ∴

r 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 6 r sin ⁡ θ ∴

Aplicando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ z + cos 2 ⁡ z = 1 , temos:

r 2 * 1 = 6 r sin ⁡ θ ∴

r = 6 sin ⁡ θ

Em outras palavras, essa equação descreve uma espiral que se estende para fora do eixo polar, com o raio aumentando à medida que o ângulo θ aumenta.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r = 6 sin ⁡ θ

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