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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2022.2 - 2ª Lista, Questão 15c

Calcule o comprimento das curvas dadas:

γ t = e - t cos ⁡ t ,   e - t sin ⁡ t ,   e - t ,   t ∈ 0,1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o comprimento da seguinte curva:

γ t = e - t cos ⁡ t ,   e - t sin ⁡ t ,   e - t

Sendo que t está contido no intervalo 0,1 .

Para isso, podemos usar a fórmula do comprimento de arco L da função γ t = x t , y t ,   z t no intervalo a , b , que é dada por:

L = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2 d t

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, comparando a expressão que nos foi dada com a expressão do comprimento de arco, primeiro devemos calcular as derivadas de x t , y t ,   z t :

  • Para x t = e - t cos ⁡ t , aplicando a regra do produto para encontrarmos a derivada, temos:

    • x ' t = d d t e - t cos ⁡ t + e - t d d t ( cos ⁡ t ) ∴

    x ' t = - e - t cos ⁡ t + sin ⁡ t  

  • Para y t = e - t sin ⁡ t , aplicando a regra do produto para encontrarmos a derivada, temos:

    • y ' t = d d t e - t sin ⁡ t + e - t d d t ( sin ⁡ t ) ∴

    y ' t = e - t cos ⁡ t - sin ⁡ t  

  • Para z t = e - t , temos:

z ' t = d d t e - t ∴

z ' t = - e - t  

Passo 3

Assim, substituindo na expressão e aplicando o intervalo dado, temos:

L = ∫ 0 1 - e - t cos ⁡ t + sin ⁡ t 2 + e - t cos ⁡ t - sin ⁡ t 2 + - e - t 2 d t ∴

L = ∫ 0 1 e - 2 t cos ⁡ t + sin ⁡ t 2 + e - 2 t cos ⁡ t - sin ⁡ t 2 + e - 2 t d t ∴

Utilizando as identidades trigonométricas cos ⁡ t + sin ⁡ t 2 = 1 + sin ⁡ 2 t e cos ⁡ t - sin ⁡ t 2 = 1 - sin ⁡ 2 t , temos:

L = ∫ 0 1 e - 2 t 1 + sin ⁡ 2 t + e - 2 t 1 - sin ⁡ 2 t + e - 2 t d t ∴

L = ∫ 0 1 3 e - 2 t d t ∴

L = ∫ 0 1 3 e - t d t ∴

L = 3 ∫ 0 1 e - t d t ∴

Resolvendo a integral, temos:

L = 3 1 - 1 e

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

L = 3 1 - 1 e

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