Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva γ : [a, b] → R²

onde 0 < b - a ≤ 2 * pi da forma

γ(θ) = (x(θ), y(θ)) = (r(θ) cos θ, r(θ) sin θ)

Note que

Assim o comprimento do arco L da curva gamma é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva r(θ) = 2 * cos(θ) com extremas a = 0 e b = pi

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 2!!! Queremos encontrar o comprimento de arco quando da curva r ( θ )   = 2 c o s ( θ )   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   π

Para isso, vamo usar a fórmula

Vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos começar calculando d r d θ . Como a nossa curva é dada por

r ( θ )   = 2 c o s ( θ )   c o m   e x t r e m o s   a   =   0   e   b   =   π

Temos que

d r d θ = 2 s i n ( θ )

Logo, o comprimento é dado por:

L = ∫ 0 π 4 c o s ( θ ) ² + 4 s i n ² ( θ ) d θ

= ∫ 0 π 2 d θ

Integrando, temos

= 2 π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

2 π

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