Calcule os limites

a )   lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

Precisamos resolver esse limite

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2

Substituindo o x por 0 encontramos uma indeterminação do tipo

e 0 - 1 - 0 0 2 = 0 0

E agora?

Precisamos lembrar do teorema de L’hopital! Ele nos diz que o limite da razão entre duas funções é igual ao limite da derivada dessas funções!

E esse aqui é o pulo do gato!

Aí temos

lim x → x 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f x ' g x '

E aí é só avaliar novamente o limite! Caso encontre outra indeterminação (não é incomum viu?) é só derivar de novo! Vai repetindo o processo até sair da indeterminação!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar derivando em cima e embaixo e avaliar no novo limite

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 = lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 x = e 0 - 1 2.0

= 0 0

Tranquilo até aqui?

Temos novamente a indeterminação, bora derivar de novo!

Passo 3

Aplicando L’hopital de novo

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 x = lim x → 0 ⁡ e x 2 = e 0 2 = 1 2

Fugimos da indeterminação e achamos o valor do limite!

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

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